La Géométrie et l’expérience, traduction française Section section-0002

Examinons de ce point de vue un axiome quelconque de la géométrie, par exemple le suivant : par deux points de l’espace on peut toujours tracer une ligne droite, et l’on n’en peut tracer qu’une seule. Comment cet axiome doit-il être interprété dans le sens ancien et comment dans le sens moderne ? Interprétation ancienne . - Chacun sait ce qu’est une droite et ce qu’est un point. Que cette connaissance provienne de la faculté de l’esprit humain ou de l’expérience, de la coopération de toutes les deux ou d’ailleurs, - le mathématicien n’est pas obligé d’en décider, mais abandonne cette décision au philosophe. Fondé sur cette connaissance, qui est donnée avant toute mathématique, l’axiome susnommé (comme tous les autres axiomes) est évident, c’est-à-dire il est l’expression d’une partie de cette connaissance a priori . Interprétation moderne . - La géométrie traite d’objets qui sont désignés par les mots droite, point , etc. Une connaissance quelconque ou intuition de ces objets n’est pas supposée ; la seule chose qu’on suppose est la validité de ces axiomes, qui doivent être également conçus comme purement formels, c’est-à-dire dépourvus de tout contenu intuitif ou accessible à l’expérience, dont celui mentionné plus haut est un exemple. Ces axiomes sont des créations libres de l’esprit humain. Toutes les autres propositions géométriques sont des déductions logiques des axiomes (qui doivent être conçus au point de vue nominaliste). Ce sont les axiomes qui définissent en premier lieu les objets dont traite la géométrie. Et c’est pourquoi Schlick, dans son livre sur la Théorie de la connaissance, a très justement regardé les axiomes comme des définitions implicites .

Let us examine from this point of view any axiom of geometry, for example the following: through two points in space one can always draw a straight line, and only one such line can be drawn. How should this axiom be interpreted in the old sense, and how in the modern sense?

Old interpretation. Everyone knows what a straight line is and what a point is. Whether this knowledge comes from a faculty of the human mind, from experience, from the cooperation of both, or from elsewhere, the mathematician is not obliged to decide, but leaves the decision to the philosopher. Founded upon this knowledge, which is given prior to all mathematics, the above-mentioned axiom (like all other axioms) is self-evident, that is, it expresses a part of this a priori knowledge.

Modern interpretation. Geometry deals with objects designated by the words straight line, point, and so forth. No knowledge or intuition whatsoever of these objects is presupposed. The only thing presupposed is the validity of the axioms, which must likewise be conceived as purely formal, that is, devoid of all intuitive or experientially accessible content, and of which the axiom mentioned above is an example. These axioms are free creations of the human mind. All other geometrical propositions are logical deductions from the axioms (which must be conceived from the nominalist point of view). It is the axioms that first define the objects with which geometry deals. This is why Schlick, in his book on the Theory of Knowledge, very rightly regarded axioms as implicit definitions.