La Signification de la relativité Section section-0012

We shall now show briefly that there are geometrical entities which lead to the concept of tensors. Let be the centre of a surface of the second degree, any point on the surface, and the projections of the interval upon the co-ordinate axes. Then the equation of the surface is In this, and in analogous cases, we shall omit the sign of summation, and understand that the summation is to be carried out for those indices that appear twice. We thus write the equation of the surface The quantities determine the surface completely, for a given position of the centre, with respect to the chosen system of Cartesian co-ordinates. From the known law of transformation for the (3a) for linear orthogonal transformations, we easily find the law of transformation for the : [4] [4] The equation may, by (5), be replaced by = 1, from which the result stated immediately follows. This transformation is homogeneous and of the first degree in the . On account of this transformation, the , are called components of a tensor of the second rank (the latter on account of the double index). If all the components, , of a tensor with respect to any system of Cartesian co-ordinates vanish, they vanish with respect to every other Cartesian system. The form and the position of the surface of the second degree is described by this tensor ( ). Analytic tensors of higher rank (number of indices) may be defined. It is possible and advantageous to regard vectors as tensors of rank 1, and invariants (scalars) as tensors of rank 0. In this respect, the problem of the theory of invariants may be so formulated: according to what laws may new tensors be formed from given tensors? We shall consider these laws now, in order to be able to apply them later. We shall deal first only with the properties of tensors with respect to the transformation from one Cartesian system to another in the same space of reference, by means of linear orthogonal transformations. As the laws are wholly independent of the number of dimensions, we shall leave this number, , indefinite at first.

Nous allons maintenant montrer brièvement qu’il existe des entités géométriques qui conduisent au concept de tenseur. Soit le centre d’une surface du second degré, un point quelconque de la surface, et les projections de l’intervalle sur les axes de coordonnées. L’équation de la surface est alors . Dans ce cas et dans les cas analogues, nous omettrons le signe de sommation et sous-entendrons que la sommation doit être effectuée sur les indices qui apparaissent deux fois. Nous écrivons donc l’équation de la surface .

Les quantités déterminent complètement la surface, pour une position donnée du centre, relativement au système de coordonnées cartésiennes choisi. À partir de la loi de transformation connue des (3a) pour les transformations orthogonales linéaires, nous trouvons aisément la loi de transformation des : [4] .

[4] L’équation peut, au moyen de (5), être remplacée par = 1, d’où le résultat énoncé découle immédiatement.

Cette transformation est homogène et du premier degré en les . En raison de cette transformation, les sont appelés composantes d’un tenseur du second rang, cette dernière qualification tenant au double indice. Si toutes les composantes, , d’un tenseur relativement à un système quelconque de coordonnées cartésiennes s’annulent, elles s’annulent relativement à tout autre système cartésien. La forme et la position de la surface du second degré sont décrites par ce tenseur ( ). On peut définir des tenseurs analytiques de rang supérieur, c’est-à-dire comportant un plus grand nombre d’indices. Il est possible et avantageux de considérer les vecteurs comme des tenseurs de rang 1 et les invariants, ou scalaires, comme des tenseurs de rang 0.

À cet égard, le problème de la théorie des invariants peut être formulé ainsi : selon quelles lois peut-on former de nouveaux tenseurs à partir de tenseurs donnés ? Nous allons maintenant examiner ces lois afin de pouvoir les appliquer plus tard. Nous ne traiterons d’abord que des propriétés des tenseurs relativement au passage d’un système cartésien à un autre dans le même espace de référence, au moyen de transformations orthogonales linéaires. Comme les lois sont entièrement indépendantes du nombre de dimensions, nous laisserons d’abord ce nombre, , indéterminé.