La Signification de la relativité Section section-0052

There are here, also, tensors of any rank, which may have co-variant or contra-variant character with respect to each index; as with vectors, the character is designated by the position [Pg 69] of the index. For example, denotes a tensor of the second rank, which is co-variant with respect to the index , and contra-variant with respect to the index . The tensor character indicates that the equation of transformation is Tensors may be formed by the addition and subtraction of tensors of equal rank and like character, as in the theory of invariants of orthogonal linear substitutions, for example, The proof of the tensor character of depends upon (58). Tensors may be formed by multiplication, keeping the character of the indices, just as in the theory of invariants of linear orthogonal transformations, for example, The proof follows directly from the rule of transformation. Tensors may be formed by contraction with respect to two indices of different character, for example, The tensor character of determines the tensor character of . Proof - [Pg 70] The properties of symmetry and skew-symmetry of a tensor with respect to two indices of like character have the same significance as in the theory of invariants. With this, everything essential has been said with regard to the algebraic properties of tensors. The Fundamental Tensor . It follows from the invariance of for an arbitrary choice of the , in connexion with the condition of symmetry consistent with (55), that the are components of a symmetrical co-variant tensor (Fundamental Tensor). Let us form the determinant, , of the , and also the minors, divided by , corresponding to the single . These minors, divided by , will be denoted by , and their co-variant character is not yet known. Then we have

Il existe ici aussi des tenseurs de rang quelconque, qui peuvent avoir un caractère covariant ou contravariant par rapport à chacun de leurs indices ; comme pour les vecteurs, ce caractère est indiqué par la position [Pg 69] de l'indice. Par exemple, désigne un tenseur du second rang, covariant par rapport à l'indice et contravariant par rapport à l'indice . Le caractère tensoriel indique que l'équation de transformation est Des tenseurs peuvent être formés par addition et soustraction de tenseurs de même rang et de même caractère, comme dans la théorie des invariants des substitutions linéaires orthogonales, par exemple La démonstration du caractère tensoriel de repose sur (58). Des tenseurs peuvent être formés par multiplication, en conservant le caractère des indices, exactement comme dans la théorie des invariants des transformations linéaires orthogonales, par exemple La démonstration découle directement de la règle de transformation. Des tenseurs peuvent être formés par contraction relativement à deux indices de caractères différents, par exemple Le caractère tensoriel de détermine le caractère tensoriel de . Démonstration : [Pg 70] Les propriétés de symétrie et d'antisymétrie d'un tenseur par rapport à deux indices de même caractère ont la même signification que dans la théorie des invariants. Avec cela, tout l'essentiel a été dit concernant les propriétés algébriques des tenseurs. Le tenseur fondamental. Il découle de l'invariance de pour un choix arbitraire des , conjointement avec la condition de symétrie compatible avec (55), que les sont les composantes d'un tenseur covariant symétrique (tenseur fondamental). Formons le déterminant des , ainsi que les mineurs correspondant à chacun des , divisés par . Ces mineurs divisés par seront désignés par , et leur caractère covariant n'est pas encore connu. Nous avons alors