La Signification de la relativité Section section-0054

That there are, nevertheless, in the general case, invariant differential operations for tensors, is recognized most satisfactorily in the following way, introduced by Levi-Civita and Weyl. Let ( ) be a contra-variant vector whose components are given with respect to the co-ordinate system of the . Let and [Pg 73] be two infinitesimally near points of the continuum. For the infinitesimal region surrounding the point , there is, according to our way of considering the matter, a co-ordinate system of the (with imaginary -co-ordinate) for which the continuum is Euclidean. Let be the co-ordinates of the vector at the point . Imagine a vector drawn at the point , using the local system of the , with the same co-ordinates (parallel vector through ), then this parallel vector is uniquely determined by the vector at and the displacement. We designate this operation, whose uniqueness will appear in the sequel, the parallel displacement of the vector from to the infinitesimally near point . If we form the vector difference of the vector ( ) at the point and the vector obtained by parallel displacement from to , we get a vector which may be regarded as the differential of the vector ( ) for the given displacement . This vector displacement can naturally also be considered with respect to the co-ordinate system of the . If are the co-ordinates of the vector at , the co-ordinates of the vector displaced to along the interval ( ), then the do not vanish in this case. We know of these quantities, which do not have a vector character, that they must depend linearly and homogeneously upon the and the . We therefore put In addition, we can state that the must be symmetrical with respect to the indices and . For we can assume from a representation by the aid of a Euclidean system of local co-ordinates that the same parallelogram will be described by the displacement of an element along a second element [Pg 74] as by a displacement of along . We must therefore have The statement made above follows from this, after interchanging the indices of summation, and , on the right-hand side.

L'existence, même dans le cas général, d'opérations différentielles invariantes sur les tenseurs se reconnaît de la façon la plus satisfaisante par la méthode suivante, introduite par Levi-Civita et Weyl. Soit ( ) un vecteur contravariant dont les composantes sont données par rapport au système de coordonnées des . Soient et [Pg 73] deux points infiniment voisins du continuum. Pour la région infinitésimale entourant le point , il existe, selon notre manière d'envisager la question, un système de coordonnées (avec une coordonnée imaginaire) pour lequel le continuum est euclidien. Soient les coordonnées du vecteur au point . Imaginons qu'au point soit tracé un vecteur qui possède, dans le système local des , les mêmes coordonnées (vecteur parallèle passant par ) ; ce vecteur parallèle est alors déterminé de façon univoque par le vecteur en et par le déplacement. Nous appelons cette opération, dont l'unicité apparaîtra par la suite, le déplacement parallèle du vecteur de au point infiniment voisin . Si nous formons la différence entre le vecteur ( ) au point et le vecteur obtenu par déplacement parallèle de à , nous obtenons un vecteur qui peut être considéré comme la différentielle du vecteur ( ) pour le déplacement donné . Ce déplacement vectoriel peut naturellement aussi être considéré par rapport au système de coordonnées des . Si sont les coordonnées du vecteur en et les coordonnées du vecteur déplacé jusqu'en le long de l'intervalle ( ), alors les ne s'annulent pas dans ce cas. Nous savons de ces quantités, qui ne possèdent pas un caractère vectoriel, qu'elles doivent dépendre linéairement et d'une manière homogène des et des . Nous posons donc Nous pouvons en outre affirmer que les doivent être symétriques par rapport aux indices et . Nous pouvons en effet supposer, d'après une représentation au moyen d'un système euclidien de coordonnées locales, que le déplacement d'un élément le long d'un second élément décrira le même parallélogramme [Pg 74] que le déplacement de le long de . Nous devons donc avoir La proposition formulée plus haut en découle après permutation, dans le membre de droite, des indices de sommation et . General covariance.