La Signification de la relativité Section section-0073

First, we consider as small of the first order. The square of the velocity of masses moving under the influence of the gravitational force is of the same order, according to the energy equation. It is therefore logical to regard the velocities of the material particles we are considering, as well as the velocities of the masses which generate the field, as small, of the order . We shall now carry out the approximation in the equations that arise from the field equations (101) and the equations of motion (90) so far as to consider terms, in the second member of (90), that are linear in those velocities. Further, we shall not put and equal to each other, but, corresponding to the higher approximation, we shall put From (90) we obtain, at first, From (101) we get, to the approximation sought for, in which, in (117), and denote the space indices only. [Pg 107] On the right-hand side of (116) we can replace 1 + by 1 and by . It is easy to see, in addition, that to this degree of approximation we must put in which , and denote space indices. We therefore obtain from (116), in the usual vector notation, The equations of motion, (118), show now, in fact, that 1. The inert mass is proportional to 1 + and therefore increases when ponderable masses approach the test body. 2. There is an inductive action of accelerated masses, of the same sign, upon the test body. This is the term . [Pg 108] 3. A material particle, moving perpendicularly to the axis of rotation inside a rotating hollow body, is deflected in the sense of the rotation (Coriolis field). The centrifugal action, mentioned above, inside a rotating hollow body, also follows from the theory, as has been shown by Thirring. [18] [18] That the centrifugal action must be inseparably connected with the existence of the Coriolis field may be recognized, even without calculation, in the special case of a co-ordinate system rotating uniformly relatively to an inertial system; our general co-variant equations naturally must apply to such a case.

Tout d’abord, nous considérons comme une petite quantité du premier ordre. D’après l’équation de l’énergie, le carré de la vitesse des masses qui se meuvent sous l’influence de la force gravitationnelle est du même ordre. Il est donc logique de considérer les vitesses des particules matérielles que nous étudions, ainsi que les vitesses des masses qui engendrent le champ, comme petites, de l’ordre de . Nous allons maintenant effectuer l’approximation dans les équations issues des équations du champ (101) et des équations du mouvement (90), jusqu’à prendre en considération, dans le second membre de (90), les termes linéaires par rapport à ces vitesses. En outre, nous ne poserons pas et égaux l’un à l’autre, mais, conformément à l’approximation d’ordre supérieur, nous poserons

De (90), nous obtenons d’abord,

De (101), nous obtenons, au degré d’approximation recherché,

où, dans (117), et désignent uniquement les indices d’espace. [p. 107]

Dans le membre de droite de (116), nous pouvons remplacer 1 + par 1 et par . Il est en outre facile de voir qu’à ce degré d’approximation nous devons poser

où , et désignent des indices d’espace. Nous obtenons donc de (116), dans la notation vectorielle usuelle,

Les équations du mouvement (118) montrent maintenant, en effet, que :

1. La masse inerte est proportionnelle à 1 + et augmente donc lorsque des masses pondérables s’approchent du corps d’épreuve.

2. Les masses accélérées exercent sur le corps d’épreuve une action inductive de même signe. C’est le terme . [p. 108]

3. Une particule matérielle se déplaçant perpendiculairement à l’axe de rotation, à l’intérieur d’un corps creux en rotation, est déviée dans le sens de la rotation (champ de Coriolis). L’action centrifuge mentionnée plus haut, à l’intérieur d’un corps creux en rotation, découle également de la théorie, comme l’a montré Thirring. [18]

[18] On peut reconnaître, même sans calcul, que l’action centrifuge doit être inséparablement liée à l’existence du champ de Coriolis, dans le cas particulier d’un système de coordonnées tournant uniformément par rapport à un système inertiel; nos équations généralement covariantes doivent naturellement s’appliquer à un tel cas.