Idées fondamentales et problèmes de la théorie de la relativité, conférence Nobel Section section-0013

The characteristic assumption of Riemannian geometry is the attribution to two infinitely adjacent points of a "distance" , the square of which is a homogeneous second order function of the coordinate differentials. It follows from this that (apart from certain conditions of reality) Euclidian geometry is valid in any infinitely small region. Hence to every line element (or vector) at a point is assigned a parallel and equal line element (or vector) through any given infinitesimally adjacent point ' (affine correlation). Riemannian metric determines an affine correlation. Conversely, however, when an affine correlation (law of infinitesimal parallel displacement) is mathematically given, generally no Riemannian metric determination exists from which it can be derived. The most important concept of Riemannian geometry, "space curvature", on which the gravitational equations are also based, is based exclusively on the "affine correlation". If one is given in a continuum, without first proceeding from a metric, it constitutes a generalization of Riemannian geometry but which still retains the most important derived parameters. By seeking the simplest differential equations which can be obeyed by an affine correlation there is reason to hope that a generalization of the gravitation equations will be found which includes the laws of the electromagnetic field. This hope has in fact been fulfilled although I do not know whether the formal connection so derived can really be regarded as an enrichment of physics as long as it does not yield any new physical connections. In particular a field theory can, to my mind, only be satisfactory when it permits the elementary electrical bodies to be represented as solutions free from singularities.

L’hypothèse caractéristique de la géométrie riemannienne est l’attribution à deux points infiniment voisins d’une « distance » , dont le carré est une fonction homogène du second degré des différentielles des coordonnées. Il s’ensuit que, sous réserve de certaines conditions de réalité, la géométrie euclidienne est valide dans toute région infiniment petite. Ainsi, à tout élément de ligne (ou vecteur) en un point est assigné un élément de ligne (ou vecteur) parallèle et égal passant par tout point infiniment voisin donné ' (connexion affine). La métrique riemannienne détermine une connexion affine. Inversement, toutefois, lorsqu’une connexion affine (loi du déplacement parallèle infinitésimal) est donnée mathématiquement, il n’existe généralement aucune détermination métrique riemannienne dont elle puisse être dérivée.

Le concept le plus important de la géométrie riemannienne, la « courbure de l’espace », sur lequel reposent également les équations gravitationnelles, se fonde exclusivement sur la « connexion affine ». Si une telle connexion est donnée dans un continuum sans que l’on parte d’abord d’une métrique, elle constitue une généralisation de la géométrie riemannienne qui conserve néanmoins les paramètres dérivés les plus importants. La recherche des équations différentielles les plus simples auxquelles une connexion affine puisse obéir permet d’espérer découvrir une généralisation des équations de la gravitation qui inclue les lois du champ électromagnétique. Cet espoir s’est effectivement réalisé, bien que j’ignore si la liaison formelle ainsi obtenue puisse réellement être tenue pour un enrichissement de la physique tant qu’elle ne produit aucune relation physique nouvelle. En particulier, une théorie du champ ne peut, à mon sens, être satisfaisante que si elle permet de représenter les corps électriques élémentaires comme des solutions exemptes de singularités.