Le Principe de relativité: articles d’Einstein sélectionnés Section section-0035

We now prove a law, which will be often applicable for proving the tensor-character of certain quantities. According to the above representation, A μν B μν is a scalar, when A μν and B στ are tensors. We also remark that when A μν B μν is an invariant for every choice of the tensor B μν , then A μν has a tensorial character. Proof: - According to the above assumption, for any substitution we have From the inversion of (9) we have however Substitution of this for B μν in the above equation gives This can be true, for any choice of B στ′ only when the term within the bracket vanishes. From which by referring to (11), the theorem at once follows. This law correspondingly holds for tensors of any rank and character. The proof is quite similar. The law can also be put in the following form. If B μ and C ν are any two vectors, and if for every choice of them the inner product A μν B μ C ν is a scalar, then A μν is a co-variant tensor. The last law holds even when there is the more special formulation, that with any arbitrary choice of the four-vector B μ alone the scalar product A μν B μ B ν is a scalar, in which case we have the additional condition that A μν satisfies the symmetry condition. According to the method given above, we prove the tensor character of (A μν + A νμ ), from which on account of symmetry follows the tensor-character of A μν . This law can easily be generalized in the case of co-variant and contravariant tensors of any rank. Finally, from what has been proved, we can deduce the following law which can be easily generalized for any kind of tensor: If the quantities A μν B ν form a tensor of the first rank, when B ν is any arbitrarily chosen four-vector, then A μν is a tensor of the second rank. If for example, C μ is any four-vector, then owing to the tensor character of A μν B ν , the inner product A μν C μ B ν is a scalar, both the four-vectors C μ and B ν being arbitrarily chosen. Hence the proposition follows at once. A few words about the Fundamental Tensor g μν . The co-variant fundamental tensor - In the invariant expression of the square of the linear element

Nous allons maintenant démontrer une loi qui servira souvent à établir le caractère tensoriel de certaines quantités. D’après la représentation précédente, A μν B μν est un scalaire lorsque A μν et B στ sont des tenseurs. Nous remarquons également que, lorsque A μν B μν est un invariant pour tout choix du tenseur B μν, alors A μν possède un caractère tensoriel. Démonstration : d’après l’hypothèse précédente, nous avons, pour toute substitution. Toutefois, par inversion de (9), nous avons. La substitution de cette expression à B μν dans l’équation précédente donne. Cela ne peut être vrai pour tout choix de B στ′ que si le terme entre crochets s’annule. Le théorème découle alors immédiatement de (11). Cette loi vaut de manière correspondante pour des tenseurs de tout rang et de tout caractère. La démonstration est tout à fait analogue. La loi peut aussi être formulée de la manière suivante. Si B μ et C ν sont deux vecteurs quelconques, et si, pour tout choix de ceux-ci, le produit intérieur A μν B μ C ν est un scalaire, alors A μν est un tenseur covariant. La dernière loi demeure valable sous la formulation plus particulière selon laquelle, pour tout choix arbitraire du seul quadrivecteur B μ, le produit scalaire A μν B μ B ν est un scalaire, auquel cas s’ajoute la condition que A μν satisfasse à la condition de symétrie. Suivant la méthode indiquée ci-dessus, nous démontrons le caractère tensoriel de (A μν + A νμ), dont découle, en raison de la symétrie, le caractère tensoriel de A μν. Cette loi se généralise facilement aux tenseurs covariants et contravariants de tout rang. Enfin, de ce qui a été démontré, nous pouvons déduire la loi suivante, aisément généralisable à toute espèce de tenseur : si les quantités A μν B ν forment un tenseur du premier rang lorsque B ν est un quadrivecteur choisi arbitrairement, alors A μν est un tenseur du deuxième rang. Si, par exemple, C μ est un quadrivecteur quelconque, alors, en raison du caractère tensoriel de A μν B ν, le produit intérieur A μν C μ B ν est un scalaire, les deux quadrivecteurs C μ et B ν étant arbitrairement choisis. La proposition en découle immédiatement. Quelques mots sur le tenseur fondamental g μν. Le tenseur fondamental covariant. Dans l’expression invariante du carré de l’élément linéaire