Le Principe de relativité: articles d’Einstein sélectionnés Section section-0042

Antisymmetrical Extension of a Six-vector. If we apply the operation (27) on an antisymmetrical tensor of the second rank A μ{ν² } and form all the equations arising from the cyclic interchange of the indices μ, ν, σ, and add all them, we obtain a tensor of the third rank from which it is easy to see that the tensor is antisymmetrical. If (27) is multiplied by g μα g νβ (mixed multiplication), then a tensor is obtained. The first member of the right hand side of (27) can be written in the form If we replace g μα g νβ A μνσ by A σ αβ , g μα g νβ A μν by A αβ and replace in the transformed first member with the help of (34), then from the right-hand side of (27) there arises an expression with seven terms, of which four cancel. There remains This is the expression for the extension of a contravariant tensor of the second rank; extensions can also be formed for corresponding contravariant tensors of higher and lower ranks. We remark that in the same way, we can also form the extension of a mixed tensor A μ α By the reduction of (38) with reference to the indices β and σ(inner multiplication with δ β σ ), we get a contravariant four-vector with reference to the indices β and κ, the third member of the right hand side vanishes when A αβ is an antisymmetrical tensor, which we assume here; the second member can be transformed according to (29a); we therefore get This is the expression of the divergence of a contravariant six-vector. Divergence of the mixed tensor of the second rank. Let us form the reduction of (39) with reference to the indices α and σ, we obtain remembering (29a) If we introduce into the last term the contravariant tensor A ρσ = g ρτ A σ τ , it takes the form If further A ρσ or is symmetrical it is reduced to If instead of A ρσ , we introduce in a similar way the symmetrical co-variant tensor A ρσ = g ρα g σβ A αβ , then owing to (31) the last member can take the form In the symmetrical case treated, (41) can be replaced by either of the forms which we shall have to make use of afterwards.

Extension antisymétrique d’un sextivecteur. Si nous appliquons l’opération (27) à un tenseur antisymétrique du deuxième rang A μ{ν²}, si nous formons toutes les équations résultant de la permutation cyclique des indices μ, ν, σ et si nous les additionnons toutes, nous obtenons un tenseur du troisième rang dont il est facile de voir qu’il est antisymétrique. Si (27) est multipliée par g μα g νβ (multiplication mixte), on obtient alors un tenseur. Le premier membre du côté droit de (27) peut s’écrire sous la forme. Si nous remplaçons g μα g νβ A μνσ par A σ αβ, g μα g νβ A μν par A αβ, et si nous remplaçons dans le premier membre transformé à l’aide de (34), il résulte du membre de droite de (27) une expression à sept termes, dont quatre s’annulent. Il reste. Telle est l’expression de l’extension d’un tenseur contravariant du deuxième rang ; on peut aussi former des extensions pour les tenseurs contravariants correspondants de rangs supérieurs et inférieurs. Nous remarquons que, de la même manière, nous pouvons aussi former l’extension d’un tenseur mixte A μ α. Par réduction de (38) relativement aux indices β et σ (multiplication intérieure avec δ β σ), nous obtenons un quadrivecteur contravariant relativement aux indices β et κ ; le troisième membre du côté droit s’annule lorsque A αβ est un tenseur antisymétrique, ce que nous supposons ici ; le deuxième membre peut être transformé conformément à (29a) ; nous obtenons donc. Telle est l’expression de la divergence d’un sextivecteur contravariant. Divergence du tenseur mixte du deuxième rang. Formons la réduction de (39) relativement aux indices α et σ ; nous obtenons, compte tenu de (29a). Si nous introduisons dans le dernier terme le tenseur contravariant A ρσ = g ρτ A σ τ, il prend la forme. Si, en outre, A ρσ est symétrique, il se réduit à. Si, à la place de A ρσ, nous introduisons de manière analogue le tenseur covariant symétrique A ρσ = g ρα g σβ A αβ, alors, en vertu de (31), le dernier membre peut prendre la forme. Dans le cas symétrique traité, (41) peut être remplacée par l’une ou l’autre des formes dont nous aurons à faire usage par la suite.