La Relativité: théorie restreinte et générale, traduction anglaise Section section-0070

where g 11 , g 12 , g 22 , are magnitudes which depend in a perfectly definite way on u and v . The magnitudes g 11 , g 12 and g 22 , determine the behaviour of the rods relative to the u -curves and v -curves, and thus also relative to the surface of the table. For the case in which the points of the surface considered form a Euclidean continuum with reference to the measuring-rods, but only in this case, it is possible to draw the u -curves and v -curves and to attach numbers to them, in such a manner, that we simply have: Under these conditions, the u -curves and v -curves are straight lines in the sense of Euclidean geometry, and they are perpendicular to each other. Here the Gaussian coordinates are simply Cartesian ones. It is clear that Gauss co-ordinates are nothing more than an association of two sets of numbers with the points of the surface considered, of such a nature that numerical values differing very slightly from each other are associated with neighbouring points “in space.” So far, these considerations hold for a continuum of two dimensions. But the Gaussian method can be applied also to a continuum of three, four or more dimensions. If, for instance, a continuum of four dimensions be supposed available, we may represent it in the following way. With every point of the continuum, we associate arbitrarily four numbers, x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , which are known as “co-ordinates.” Adjacent points correspond to adjacent values of the coordinates. If a distance ds is associated with the adjacent points P and P′ , this distance being measurable and well defined from a physical point of view, then the following formula holds: ds 2 = g 11 dx 1 2 + 2 g 12 dx 1 dx 2 . . . . + g 44 dx 4 2 , where the magnitudes g 11 , etc., have values which vary with the position in the continuum. Only when the continuum is a Euclidean one is it possible to associate the co-ordinates x 1 . . x 4 . with the points of the continuum so that we have simply ds 2 = dx 1 2 + dx 2 2 + dx 3 2 + dx 4 2 . In this case relations hold in the four-dimensional continuum which are analogous to those holding in our three-dimensional measurements.

où g₁₁, g₁₂, g₂₂ sont des grandeurs qui dépendent d’une manière parfaitement déterminée de u et de v. Les grandeurs g₁₁, g₁₂ et g₂₂ déterminent le comportement des règles par rapport aux courbes u et aux courbes v, et donc aussi par rapport à la surface de la table. Dans le cas où les points de la surface considérée forment un continuum euclidien par rapport aux règles de mesure, et dans ce cas seulement, il est possible de tracer les courbes u et les courbes v et de leur attribuer des nombres de telle sorte que nous ayons simplement : Dans ces conditions, les courbes u et les courbes v sont des lignes droites au sens de la géométrie euclidienne, et elles sont perpendiculaires les unes aux autres. Ici, les coordonnées gaussiennes sont simplement des coordonnées cartésiennes. Il est clair que les coordonnées de Gauss ne sont rien de plus que l’association de deux ensembles de nombres aux points de la surface considérée, de telle sorte que des valeurs numériques ne différant que très légèrement les unes des autres soient associées à des points « spatialement » voisins. Jusqu’ici, ces considérations valent pour un continuum à deux dimensions. Mais la méthode gaussienne peut également être appliquée à un continuum à trois, quatre dimensions ou davantage. Si, par exemple, nous supposons donné un continuum à quatre dimensions, nous pouvons le représenter de la manière suivante. À chaque point du continuum, nous associons arbitrairement quatre nombres, x₁, x₂, x₃, x₄, appelés « coordonnées ». Des points adjacents correspondent à des valeurs adjacentes des coordonnées. Si une distance ds est associée aux points adjacents P et P′, cette distance étant mesurable et bien définie du point de vue physique, la formule suivante est alors valable : ds² = g₁₁ dx₁² + 2g₁₂ dx₁ dx₂ .... + g₄₄ dx₄², où les grandeurs g₁₁, etc., ont des valeurs qui varient avec la position dans le continuum. Ce n’est que lorsque le continuum est euclidien qu’il est possible d’associer les coordonnées x₁...x₄ aux points du continuum de telle sorte que nous ayons simplement ds² = dx₁² + dx₂² + dx₃² + dx₄². Dans ce cas, il existe dans le continuum à quatre dimensions des relations analogues à celles qui sont valables dans nos mesures tridimensionnelles.