La Relativité: théorie restreinte et générale, traduction anglaise Section section-0088

i.e. a smaller value than π, the difference being the more considerable, the greater is the radius of the circle in comparison with the radius R of the “world-sphere.” By means of this relation the spherical beings can determine the radius of their universe (“world”), even when only a relatively small part of their worldsphere is available for their measurements. But if this part is very small indeed, they will no longer be able to demonstrate that they are on a spherical “world” and not on a Euclidean plane, for a small part of a spherical surface differs only slightly from a piece of a plane of the same size. Thus if the spherical surface beings are living on a planet of which the solar system occupies only a negligibly small part of the spherical universe, they have no means of determining whether they are living in a finite or in an infinite universe, because the “piece of universe” to which they have access is in both cases practically plane, or Euclidean. It follows directly from this discussion, that for our sphere-beings the circumference of a circle first increases with the radius until the “circumference of the universe” is reached, and that it thenceforward gradually decreases to zero for still further increasing values of the radius. During this process the area of the circle continues to increase more and more, until finally it becomes equal to the total area of the whole “world-sphere.” Perhaps the reader will wonder why we have placed our “beings” on a sphere rather than on another closed surface. But this choice has its justification in the fact that, of all closed surfaces, the sphere is unique in possessing the property that all points on it are equivalent. I admit that the ratio of the circumference c of a circle to its radius r depends on r , but for a given value of r it is the same for all points of the “worldsphere”; in other words, the “world-sphere” is a “surface of constant curvature.”

c’est-à-dire une valeur inférieure à π, la différence étant d’autant plus considérable que le rayon du cercle est grand par rapport au rayon R de la « sphère-monde ». Grâce à cette relation, les êtres sphériques peuvent déterminer le rayon de leur univers (« monde »), même lorsqu’ils ne disposent que d’une partie relativement petite de leur sphère-monde pour effectuer leurs mesures. Mais si cette partie est vraiment très petite, ils ne pourront plus démontrer qu’ils se trouvent sur un « monde » sphérique et non sur un plan euclidien, car une petite partie d’une surface sphérique ne diffère que légèrement d’un morceau de plan de même étendue. Ainsi, si les êtres de la surface sphérique vivent sur une planète dont le système solaire n’occupe qu’une partie négligeablement petite de l’univers sphérique, ils n’ont aucun moyen de déterminer s’ils vivent dans un univers fini ou infini, parce que le « morceau d’univers » auquel ils ont accès est pratiquement plan, ou euclidien, dans les deux cas. Il découle directement de cette discussion que, pour nos êtres sphériques, la circonférence d’un cercle augmente d’abord avec son rayon jusqu’à ce que soit atteinte la « circonférence de l’univers », puis décroît progressivement jusqu’à zéro lorsque le rayon continue d’augmenter. Au cours de ce processus, l’aire du cercle continue d’augmenter toujours davantage, jusqu’à devenir finalement égale à l’aire totale de la « sphère-monde ». Le lecteur se demandera peut-être pourquoi nous avons placé nos « êtres » sur une sphère plutôt que sur une autre surface fermée. Mais ce choix se justifie par le fait que, parmi toutes les surfaces fermées, la sphère est la seule à posséder la propriété que tous ses points sont équivalents. J’admets que le rapport de la circonférence c d’un cercle à son rayon r dépend de r, mais, pour une valeur donnée de r, il est le même en tous les points de la « sphère-monde ». En d’autres termes, la « sphère-monde » est une « surface à courbure constante ».