La Relativité: théorie restreinte et générale, traduction anglaise Section section-0093

APPENDIX I SIMPLE DERIVATION OF THE LORENTZ TRANSFORMATION (SUPPLEMENTARY TO SECTION XI) For the relative orientation of the co-ordinate systems indicated in Fig. 2, the x -axes of both systems permanently coincide. In the present case we can divide the problem into parts by considering first only events which are localised on the x -axis. Any such event is represented with respect to the co-ordinate system K by the abscissa x and the time t , and with respect to the system K′ by the abscissa x′ and the time t′ . We require to find x′ and t′ when x and t are given. A light-signal, which is proceeding along the positive axis of x , is transmitted according to the equation Since the same light-signal has to be transmitted relative to K′ with the velocity c , the propagation relative to the system K′ will be represented by the analogous formula Those space-time points (events) which satisfy (1) must also satisfy (2). Obviously this will be the case when the relation is fulfilled in general, where λ indicates a constant; for, according to (3), the disappearance of ( x – ct ) involves the disappearance of ( x′ – ct′ ). If we apply quite similar considerations to light rays which are being transmitted along the negative x -axis, we obtain the condition By adding (or subtracting) equations (3) and (4), and introducing for convenience the constants a and b in place of the constants λ and μ where We should thus have the solution of our problem, if the constants a and b were known. These result from the following discussion. For the origin of K′ we have permanently x′ = 0, and hence according to the first of the equations (5) If we call v the velocity with which the origin of K′ is moving relative to K , we then have The same value v can be obtained from equations (5), if we calculate the velocity of another point of K′ relative to K , or the velocity (directed towards the negative x -axis) of a point of K with respect to K′ . In short, we can designate v as the relative velocity of the two systems.

APPENDICE I DÉRIVATION SIMPLE DE LA TRANSFORMATION DE LORENTZ (COMPLÉMENT À LA SECTION XI) Dans l’orientation relative des systèmes de coordonnées représentés à la fig. 2, les axes x des deux systèmes coïncident en permanence. Dans le cas présent, nous pouvons diviser le problème en plusieurs parties en ne considérant d’abord que les événements localisés sur l’axe x. Tout événement de ce genre est représenté, par rapport au système de coordonnées K, par l’abscisse x et le temps t, et, par rapport au système K′, par l’abscisse x′ et le temps t′. Nous devons trouver x′ et t′ lorsque x et t sont donnés. Un signal lumineux qui se propage le long de l’axe positif des x est transmis conformément à l’équation Puisque le même signal lumineux doit être transmis par rapport à K′ avec la vitesse c, sa propagation relativement au système K′ sera représentée par la formule analogue Les points spatio-temporels (événements) qui satisfont à (1) doivent également satisfaire à (2). Il est évident que ce sera le cas lorsque la relation est satisfaite en général, λ désignant une constante, car, d’après (3), l’annulation de (x – ct) entraîne celle de (x′ – ct′). Si nous appliquons des considérations tout à fait semblables aux rayons lumineux qui se propagent le long de l’axe négatif des x, nous obtenons la condition En additionnant (ou en soustrayant) les équations (3) et (4), et en introduisant par commodité les constantes a et b à la place des constantes λ et μ, où Nous aurions ainsi la solution de notre problème si les constantes a et b étaient connues. Elles résultent de la discussion suivante. Pour l’origine de K′, nous avons en permanence x′ = 0 et, par conséquent, d’après la première des équations (5) Si nous appelons v la vitesse avec laquelle l’origine de K′ se meut par rapport à K, nous avons alors La même valeur v peut être obtenue à partir des équations (5) si nous calculons la vitesse d’un autre point de K′ par rapport à K, ou la vitesse (dirigée vers l’axe négatif des x) d’un point de K par rapport à K′. En bref, nous pouvons désigner v comme la vitesse relative des deux systèmes.