Le Principe de relativité: articles d’Einstein sélectionnés Section section-0029

had then, according to the special relativity theory, a value which may be obtained by space-time measurement, and which is independent of the orientation of the local co-ordinate system. Let us take ds as the magnitude of the line-element belonging to two infinitely near points in the four-dimensional region. If ds² belonging to the element ( d X₁, d X₂, d X₃, d X₄) be positive we call it with Minkowski, time-like, and in the contrary case space-like. To the line-element considered, i.e. , to both the infinitely near point-events belong also definite differentials dx₁ , dx₂ , dx₃ , dx₄ , of the four-dimensional co-ordinates of any chosen system of reference. If there be also a local system of the above kind given for the case under consideration, d X’s would then be represented by definite linear homogeneous expressions of the form If we substitute the expression in (1) we get where g στ will be functions of x σ , but will no longer depend upon the orientation and motion of the ‘local’ co-ordinates; for ds² is a definite magnitude belonging to two point-events infinitely near in space and time and can be got by measurements with rods and clocks. The g τσ ’s are here to be so chosen, that g τσ = g στ ; the summation is to be extended over all values of σ and τ, so that the sum is to be extended, over 4 × 4 terms, of which 12 are equal in pairs. From the method adopted here, the case of the usual relativity theory comes out when owing to the special behaviour of g στ in a finite region it is possible to choose the system of co-ordinates in such a way that g στ assumes constant values - We would afterwards see that the choice of such a system of co-ordinates for a finite region is in general not possible.

avait alors, selon la théorie de la relativité restreinte, une valeur pouvant être obtenue par une mesure spatio-temporelle et indépendante de l’orientation du système local de coordonnées. Prenons ds comme grandeur de l’élément linéaire appartenant à deux points infiniment proches dans la région quadridimensionnelle. Si ds², appartenant à l’élément (dX₁, dX₂, dX₃, dX₄), est positif, nous l’appelons, avec Minkowski, de genre temps, et dans le cas contraire de genre espace. À l’élément linéaire considéré, c’est-à-dire aux deux événements ponctuels infiniment proches, appartiennent également des différentielles déterminées dx₁, dx₂, dx₃, dx₄ des quatre coordonnées d’un système de référence quelconque. S’il existe aussi, pour le cas considéré, un système local du genre indiqué ci-dessus, les dX seront alors représentés par des expressions linéaires homogènes déterminées de la forme Si nous substituons cette expression dans (1), nous obtenons où les g στ seront des fonctions de x σ, mais ne dépendront plus de l’orientation ni du mouvement des coordonnées « locales »; car ds² est une grandeur déterminée appartenant à deux événements ponctuels infiniment proches dans l’espace et le temps, et peut être obtenue par des mesures effectuées avec des règles et des horloges. Les g τσ doivent être choisis ici de telle sorte que g τσ = g στ; la sommation doit s’étendre à toutes les valeurs de σ et de τ, de sorte que la somme porte sur 4 × 4 termes, dont 12 sont égaux deux à deux. Selon la méthode adoptée ici, le cas de la théorie habituelle de la relativité se présente lorsque, grâce au comportement particulier de g στ dans une région finie, il est possible de choisir le système de coordonnées de telle sorte que g στ prenne des valeurs constantes. Nous verrons par la suite que le choix d’un tel système de coordonnées pour une région finie n’est généralement pas possible.