Le Principe de relativité: articles d’Einstein sélectionnés Section section-0046

Therefore it is clear that, for a gravitational field free from matter, it is desirable that the symmetrical tensors B μν deduced from the tensors B ρ μστ should vanish. We thus get 10 equations for 10 quantities g μν which are fulfilled in the special case when B ρ μστ ’s all vanish. Remembering (44) we see that in absence of matter the field-equations come out as follows; (when referred to the special co-ordinate-system chosen.) It can also be shown that the choice of these equations is connected with a minimum of arbitrariness. For besides B μν , there is no tensor of the second rank, which can be built out of g μν ’s and their derivatives no higher than the second, and which is also linear in them. It will be shown that the equations arising in a purely mathematical way out of the conditions of the general relativity, together with equations (46), give us the Newtonian law of attraction as a first approximation, and lead in the second approximation to the explanation of the perihelion-motion of mercury discovered by Leverrier (the residual effect which could not be accounted for by the consideration of all sorts of disturbing factors). My view is that these are convincing proofs of the physical correctness of my theory. §15. Hamiltonian Function for the Gravitation-field. Laws of Impulse and Energy. In order to show that the field equations correspond to the laws of impulse and energy, it is most convenient to write it in the following Hamiltonian form: - Here the variations vanish at the limits of the finite four-dimensional integration-space considered. It is first necessary to show that the form (47a) is equivalent to equations (47). For this purpose, let us consider H as a function of g μν and g μν σ (= ∂ g μν /∂ x σ ) The terms arising out of the two last terms within the round bracket are of different signs, and change into one another by the interchange of the indices μ and β. They cancel each other in the expression for δH, when they are multiplied by Γ μβ α , which is symmetrical with respect to μ and β, so that only the first member of the bracket remains for our consideration. Remembering (31), we thus have: -

Il est donc clair que, pour un champ de gravitation exempt de matière, il est souhaitable que les tenseurs symétriques B μν déduits des tenseurs B ρ μστ s’annulent. Nous obtenons ainsi 10 équations pour les 10 quantités g μν, équations qui sont satisfaites dans le cas particulier où tous les B ρ μστ s’annulent. Compte tenu de (44), nous voyons qu’en l’absence de matière les équations de champ prennent la forme suivante, lorsqu’elles sont rapportées au système particulier de coordonnées choisi. On peut également montrer que le choix de ces équations comporte un minimum d’arbitraire. Car, en dehors de B μν, il n’existe aucun tenseur du deuxième rang qui puisse être construit à partir des g μν et de leurs dérivées d’ordre non supérieur au deuxième, et qui soit en outre linéaire par rapport à celles-ci. On montrera que les équations résultant, de manière purement mathématique, des conditions de la relativité générale donnent, avec les équations (46), la loi newtonienne de l’attraction en première approximation et conduisent, en deuxième approximation, à l’explication du mouvement du périhélie de Mercure découvert par Leverrier, c’est-à-dire de l’effet résiduel qui ne pouvait être expliqué par la prise en compte de toutes sortes de facteurs perturbateurs. À mon avis, ce sont là des preuves convaincantes de la justesse physique de ma théorie. § 15. Fonction hamiltonienne du champ de gravitation. Lois de l’impulsion et de l’énergie. Pour montrer que les équations de champ correspondent aux lois de l’impulsion et de l’énergie, il est fort commode de les écrire sous la forme hamiltonienne suivante : Ici, les variations s’annulent aux limites du domaine fini d’intégration quadridimensionnel considéré. Il faut d’abord montrer que la forme (47a) est équivalente aux équations (47). À cette fin, considérons H comme une fonction de g μν et de g μν σ (= ∂g μν/∂x σ). Les termes provenant des deux derniers termes entre parenthèses sont de signes opposés et se transforment l’un dans l’autre par permutation des indices μ et β. Ils s’annulent dans l’expression de δH lorsqu’ils sont multipliés par Γ μβ α, qui est symétrique par rapport à μ et β, de sorte que seul le premier membre de la parenthèse doit retenir notre attention. Compte tenu de (31), nous avons donc :