Le Principe de relativité: articles d’Einstein sélectionnés Section section-0047

If we now carry out the variations in (47a), we obtain the system of equations which, owing to the relations (48), coincide with (47), as was required to be proved. If (47b) is multiplied by g σ μν , since Owing to the relations (48), the equations (47) and (34), It is to be noticed that t σ α is not a tensor, so that the equation (49) holds only for systems for which √- g = 1. This equation expresses the laws of conservation of impulse and energy in a gravitation-field. In fact, the integration of this equation over a three-dimensional volume V leads to the four equations where α₁, α₂, α₂ are the direction-cosines of the inward-drawn normal to the surface-element d S in the Euclidean Sense. We recognise in this the usual expression for the laws of conservation. We denote the magnitudes t α σ as the energy-components of the gravitation-field. I will now put the equation (47) in a third form which will be very serviceable for a quick realisation of our object. By multiplying the field-equations (47) with g νσ , these are obtained in the mixed forms. If we remember that or slightly altering the notation, equal to The third member of this expression cancels with the second member of the field-equations (47). In place of the second term of this expression, we can, on account of the relations (50), put Therefore in the place of the equations (47), we obtain §16. General formulation of the field-equation of Gravitation. The field-equations established in the preceding paragraph for spaces free from matter is to be compared with the equation ▽²φ = 0 of the Newtonian theory. We have now to find the equations which will correspond to Poisson’s Equation ▽²φ = 4πκρ (ρ signifies the density of matter).

Si nous effectuons maintenant les variations dans (47a), nous obtenons le système d’équations qui, en vertu des relations (48), coïncide avec (47), comme il fallait le démontrer. Si (47b) est multipliée par g σ μν, puisque. En vertu des relations (48), des équations (47) et de (34). Il faut remarquer que t σ α n’est pas un tenseur, de sorte que l’équation (49) ne vaut que pour les systèmes dans lesquels √(-g) = 1. Cette équation exprime les lois de conservation de l’impulsion et de l’énergie dans un champ de gravitation. En effet, l’intégration de cette équation sur un volume tridimensionnel V conduit aux quatre équations, où α₁, α₂, α₂ sont les cosinus directeurs de la normale au sens euclidien, dirigée vers l’intérieur, à l’élément de surface dS. Nous y reconnaissons l’expression usuelle des lois de conservation. Nous désignons les grandeurs t α σ comme les composantes énergétiques du champ de gravitation. Je vais maintenant mettre l’équation (47) sous une troisième forme, qui sera très utile pour parvenir rapidement à notre but. En multipliant les équations de champ (47) par g νσ, on les obtient sous forme mixte. Si nous nous souvenons que, ou, en modifiant légèrement la notation, est égal à. Le troisième membre de cette expression s’annule avec le deuxième membre des équations de champ (47). À la place du deuxième terme de cette expression, nous pouvons, en vertu des relations (50), mettre. Par conséquent, à la place des équations (47), nous obtenons. § 16. Formulation générale de l’équation du champ de gravitation. Les équations de champ établies au paragraphe précédent pour les espaces exempts de matière doivent être comparées à l’équation ▽²φ = 0 de la théorie newtonienne. Il nous faut maintenant trouver les équations qui correspondront à l’équation de Poisson ▽²φ = 4πκρ, où ρ désigne la densité de matière.