La Relativité: théorie restreinte et générale, traduction anglaise Section section-0066

XXIV. EUCLIDEAN AND NON-EUCLIDEAN CONTINUUM The surface of a marble table is spread out in front of me. I can get from any one point on this table to any other point by passing continuously from one point to a “neighbouring” one, and repeating this process a (large) number of times, or, in other words, by going from point to point without executing “jumps.” I am sure the reader will appreciate with sufficient clearness what I mean here by “neighbouring” and by “jumps” (if he is not too pedantic). We express this property of the surface by describing the latter as a continuum. Let us now imagine that a large number of little rods of equal length have been made, their lengths being small compared with the dimensions of the marble slab. When I say they are of equal length, I mean that one can be laid on any other without the ends overlapping. We next lay four of these little rods on the marble slab so that they constitute a quadrilateral figure (a square), the diagonals of which are equally long. To ensure the equality of the diagonals, we make use of a little testing-rod. To this square we add similar ones, each of which has one rod in common with the first. We proceed in like manner with each of these squares until finally the whole marble slab is laid out with squares. The arrangement is such, that each side of a square belongs to two squares and each corner to four squares. It is a veritable wonder that we can carry out this business without getting into the greatest difficulties. We only need to think of the following. If at any moment three squares meet at a corner, then two sides of the fourth square are already laid, and, as a consequence, the arrangement of the remaining two sides of the square is already completely determined. But I am now no longer able to adjust the quadrilateral so that its diagonals may be equal. If they are equal of their own accord, then this is an especial favour of the marble slab and of the little rods, about which I can only be thankfully surprised. We must experience many such surprises if the construction is to be successful.

XXIV. CONTINUUM EUCLIDIEN ET NON EUCLIDIEN La surface d’une table de marbre s’étend devant moi. Je peux aller de n’importe quel point de cette table à n’importe quel autre en passant continuellement d’un point à un point « voisin » et en répétant ce processus un grand nombre de fois ou, en d’autres termes, en allant de point en point sans effectuer de « sauts ». Je suis certain que le lecteur comprendra avec suffisamment de clarté ce que j’entends ici par « voisin » et par « sauts », s’il n’est pas trop pointilleux. Nous exprimons cette propriété de la surface en qualifiant celle-ci de continuum. Imaginons maintenant que l’on ait fabriqué un grand nombre de petites règles de longueur égale, leur longueur étant faible par rapport aux dimensions de la plaque de marbre. Lorsque je dis qu’elles sont de longueur égale, j’entends que l’une peut être posée sur n’importe quelle autre sans que leurs extrémités dépassent. Nous posons ensuite quatre de ces petites règles sur la plaque de marbre de telle sorte qu’elles constituent une figure quadrilatère (un carré) dont les diagonales ont la même longueur. Pour vérifier l’égalité des diagonales, nous employons une petite règle de contrôle. À ce carré, nous en ajoutons de semblables, chacun ayant une règle en commun avec le premier. Nous procédons de même avec chacun de ces carrés jusqu’à ce que toute la plaque de marbre soit finalement recouverte de carrés. La disposition est telle que chaque côté d’un carré appartient à deux carrés et chaque sommet à quatre carrés. Que nous puissions mener cette opération à bien sans nous heurter aux plus grandes difficultés tient véritablement du prodige. Il suffit de penser à ce qui suit. Si, à un moment quelconque, trois carrés se rencontrent en un sommet, deux côtés du quatrième carré sont déjà posés et, par conséquent, la disposition des deux côtés restants du carré est déjà complètement déterminée. Or je ne suis plus en mesure d’ajuster le quadrilatère de façon que ses diagonales soient égales. Si elles le sont spontanément, c’est là une faveur particulière de la plaque de marbre et des petites règles, dont je ne peux que m’étonner avec reconnaissance. Il nous faut éprouver bien des surprises de ce genre pour que la construction réussisse.