Éclairages sur la relativité Section section-0027

Let us imagine a point S of our space, and a great number of small spheres, L′ , which can all be brought to coincide with one another. But these spheres are not to be rigid in the sense of Euclidean geometry; their radius is to increase (in the sense of Euclidean geometry) when they are moved away from S towards infinity, and this increase is to take place in exact accordance with the same law as applies to the increase of the radii of the disc-shadows L′ on the plane. After having gained a vivid mental image of the geometrical behaviour of our L′ spheres, let us assume that in our space there are no rigid bodies at all in the sense of Euclidean geometry, but only bodies having the behaviour of our L′ spheres. Then we shall have a vivid representation of three-dimensional spherical space, or, rather of three-dimensional spherical geometry. Here our spheres must be called “rigid” spheres. Their increase in size as they depart from S is not to be detected by measuring with measuring-rods, any more than in the case of the disc-shadows on E , because the standards of measurement behave in the same way as the spheres. Space is homogeneous, that is to say, the same spherical configurations are possible in the environment of all points. * Our space is finite, because, in consequence of the “growth” of the spheres, only a finite number of them can find room in space. * This is intelligible without calculation - but only for the two-dimensional case - if we revert once more to the case of the disc on the surface of the sphere. In this way, by using as stepping-stones the practice in thinking and visualisation which Euclidean geometry gives us, we have acquired a mental picture of spherical geometry. We may without difficulty impart more depth and vigour to these ideas by carrying out special imaginary constructions. Nor would it be difficult to represent the case of what is called elliptical geometry in an analogous manner. My only aim to-day has been to show that the human faculty of visualisation is by no means bound to capitulate to non-Euclidean geometry.

Imaginons un point S de notre espace et un grand nombre de petites sphères L′, qui peuvent toutes être amenées à coïncider les unes avec les autres. Mais ces sphères ne doivent pas être rigides au sens de la géométrie euclidienne ; leur rayon doit augmenter, au sens de la géométrie euclidienne, lorsqu’elles sont éloignées de S en direction de l’infini, et cette augmentation doit se produire exactement selon la même loi que celle qui régit l’augmentation des rayons des ombres de disques L′ sur le plan. Après nous être formé une image mentale vive du comportement géométrique de nos sphères L′, supposons qu’il n’existe dans notre espace aucun corps rigide au sens de la géométrie euclidienne, mais seulement des corps qui se comportent comme nos sphères L′. Nous aurons alors une représentation vive de l’espace sphérique tridimensionnel, ou plutôt de la géométrie sphérique tridimensionnelle. Ici, nos sphères doivent être appelées sphères « rigides ». Leur augmentation de dimension à mesure qu’elles s’éloignent de S ne peut être détectée par des mesures effectuées au moyen de règles, pas plus que dans le cas des ombres de disques sur E, parce que les étalons de mesure se comportent de la même manière que les sphères. L’espace est homogène, c’est-à-dire que les mêmes configurations sphériques sont possibles dans le voisinage de tous les points. * Notre espace est fini parce que, par suite de la « croissance » des sphères, seul un nombre fini d’entre elles peut y trouver place. * Cela est intelligible sans calcul, mais seulement dans le cas bidimensionnel, si nous revenons une fois encore au cas du disque sur la surface de la sphère. Ainsi, en prenant pour marchepieds les habitudes de pensée et de visualisation que nous procure la géométrie euclidienne, nous avons acquis une image mentale de la géométrie sphérique. Nous pouvons sans difficulté donner plus de profondeur et de vigueur à ces idées en réalisant des constructions imaginaires particulières. Il ne serait pas davantage difficile de représenter d’une manière analogue le cas de ce que l’on appelle la géométrie elliptique. Mon seul but aujourd’hui a été de montrer que la faculté humaine de visualisation n’est nullement contrainte de capituler devant la géométrie non euclidienne.