Éclairages sur la relativité Section section-0026

Now we put the question, What are the laws of disposition of the disc-shadows L′ on the plane E ? Evidently they are exactly the same as the laws of disposition of the discs L on the spherical surface. For to each original figure on K there is a corresponding shadow figure on E . If two discs on K are touching, their shadows on E also touch. The shadow-geometry on the plane agrees with the the disc-geometry on the sphere. If we call the disc-shadows rigid figures, then spherical geometry holds good on the plane E with respect to these rigid figures. Moreover, the plane is finite with respect to the disc-shadows, since only a finite number of the shadows can find room on the plane. At this point somebody will say, “That is nonsense. The disc-shadows are not rigid figures. We have only to move a two-foot rule about on the plane E to convince ourselves that the shadows constantly increase in size as they move away from S on the plane towards infinity.” But what if the two-foot rule were to behave on the plane E in the same way as the disc-shadows L′ ? It would then be impossible to show that the shadows increase in size as they move away from S ; such an assertion would then no longer have any meaning whatever. In fact the only objective assertion that can be made about the disc-shadows is just this, that they are related in exactly the same way as are the rigid discs on the spherical surface in the sense of Euclidean geometry. We must carefully bear in mind that our statement as to the growth of the disc-shadows, as they move away from S towards infinity, has in itself no objective meaning, as long as we are unable to employ Euclidean rigid bodies which can be moved about on the plane E for the purpose of comparing the size of the disc-shadows. In respect of the laws of disposition of the shadows L′ , the point S has no special privileges on the plane any more than on the spherical surface. The representation given above of spherical geometry on the plane is important for us, because it readily allows itself to be transferred to the three-dimensional case.

Posons maintenant la question suivante : quelles sont les lois de disposition des ombres de disques L′ sur le plan E ? Elles sont manifestement exactement les mêmes que les lois de disposition des disques L sur la surface sphérique. Car à chaque figure originale sur K correspond une figure d’ombre sur E. Si deux disques se touchent sur K, leurs ombres se touchent également sur E. La géométrie des ombres sur le plan concorde avec la géométrie des disques sur la sphère. Si nous appelons les ombres de disques des figures rigides, alors la géométrie sphérique est valable sur le plan E relativement à ces figures rigides. En outre, le plan est fini relativement aux ombres de disques, puisque seul un nombre fini d’ombres peut trouver place sur le plan. Quelqu’un dira alors : « C’est absurde. Les ombres de disques ne sont pas des figures rigides. Il nous suffit de déplacer sur le plan E une règle de deux pieds pour nous convaincre que les ombres augmentent constamment de dimension à mesure qu’elles s’éloignent de S sur le plan en direction de l’infini. » Mais qu’arriverait-il si la règle de deux pieds se comportait sur le plan E de la même façon que les ombres de disques L′ ? Il serait alors impossible de montrer que les ombres augmentent de dimension à mesure qu’elles s’éloignent de S ; une telle affirmation n’aurait alors plus aucune signification. En fait, la seule affirmation objective que l’on puisse faire sur les ombres de disques est précisément qu’elles sont liées entre elles exactement de la même manière que les disques rigides sur la surface sphérique, au sens de la géométrie euclidienne. Nous devons soigneusement garder à l’esprit que notre affirmation concernant l’agrandissement des ombres de disques à mesure qu’elles s’éloignent de S vers l’infini n’a, en elle-même, aucune signification objective, tant que nous ne pouvons employer des corps rigides euclidiens mobiles sur le plan E afin de comparer les dimensions des ombres de disques. Du point de vue des lois de disposition des ombres L′, le point S ne jouit d’aucun privilège particulier sur le plan, pas plus que sur la surface sphérique. La représentation de la géométrie sphérique sur le plan donnée ci-dessus est importante pour nous, parce qu’elle se laisse aisément transposer au cas tridimensionnel.