Metaphysics Section 7

πρῶτον μὲν οὖν σκεπτέον εἰ συμβληταὶ αἱ μονάδες ἢ ἀσύμβλητοι, καὶ εἰ ἀσύμβλητοι, ποτέρως ὧνπερ διείλομεν. ἔστι μὲν γὰρ ὁποιανοῦν εἶναι ὁποιᾳοῦν μονάδι ἀσύμβλητον, ἔστι δὲ τὰς ἐν αὐτῇ τῇ δυάδι πρὸς τὰς ἐν αὐτῇ τῇ τριάδι, καὶ οὕτως δὴ ἀσυμβλήτους εἶναι τὰς ἐν ἑκάστῳ τῷ πρώτῳ ἀριθμῷ πρὸς ἀλλήλας. εἰ μὲν οὖν πᾶσαι συμβληταὶ καὶ ἀδιάφοροι αἱ μονάδες, ὁ μαθηματικὸς γίγνεται ἀριθμὸς καὶ εἷς μόνος, καὶ τὰς ἰδέας οὐκ ἐνδέχεται εἶναι τοὺς ἀριθμούς (ποῖος γὰρ ἔσται ἀριθμὸς αὐτὸ ἄνθρωπος ἢ ζῷον ἢ ἄλλο ὁτιοῦν τῶν εἰδῶν; ἰδέα μὲν γὰρ μία ἑκάστου, οἷον αὐτοῦ ἀνθρώπου μία καὶ αὐτοῦ ζῴου ἄλλη μία· οἱ δʼ ὅμοιοι καὶ ἀδιάφοροι ἄπειροι, ὥστʼ οὐθὲν μᾶλλον ἥδε ἡ τριὰς αὐτοάνθρωπος ἢ ὁποιαοῦν), εἰ δὲ μὴ εἰσὶν ἀριθμοὶ αἱ ἰδέαι, οὐδʼ ὅλως οἷόν τε αὐτὰς εἶναι (ἐκ τίνων γὰρ ἔσονται ἀρχῶν αἱ ἰδέαι; ὁ γὰρ ἀριθμός ἐστιν ἐκ τοῦ ἑνὸς καὶ τῆς δυάδος τῆς ἀορίστου, καὶ αἱ ἀρχαὶ καὶ τὰ στοιχεῖα λέγονται τοῦ ἀριθμοῦ εἶναι, τάξαι τε οὔτε προτέρας ἐνδέχεται τῶν ἀριθμῶν αὐτὰς οὔθʼ ὑστέρας)· εἰ δʼ ἀσύμβλητοι αἱ μονάδες, καὶ οὕτως ἀσύμβλητοι ὥστε ἡτισοῦν ᾑτινιοῦν, οὔτε τὸν μαθηματικὸν ἐνδέχεται εἶναι τοῦτον τὸν ἀριθμόν (ὁ μὲν γὰρ μαθηματικὸς ἐξ ἀδιαφόρων, καὶ τὰ δεικνύμενα κατʼ αὐτοῦ ὡς ἐπὶ τοιούτου ἁρμόττει) οὔτε τὸν τῶν εἰδῶν. οὐ γὰρ ἔσται ἡ δυὰς πρώτη ἐκ τοῦ ἑνὸς καὶ τῆς ἀορίστου δυάδος, ἔπειτα οἱ ἑξῆς ἀριθμοί, ὡς λέγεται δυάς, τριάς, τετράς - ἅμα γὰρ αἱ ἐν τῇ δυάδι τῇ πρώτῃ μονάδες γεννῶνται, εἴτε ὥσπερ ὁ πρῶτος εἰπὼν ἐξ ἀνίσων (ἰσασθέντων γὰρ ἐγένοντο) εἴτε ἄλλως - , ἐπεὶ εἰ ἔσται ἡ ἑτέρα μονὰς τῆς ἑτέρας προτέρα, καὶ τῆς δυάδος τῆς ἐκ τούτων ἔσται προτέρα· ὅταν γὰρ ᾖ τι τὸ μὲν πρότερον τὸ δὲ ὕστερον, καὶ τὸ ἐκ τούτων τοῦ μὲν ἔσται πρότερον τοῦ δʼ ὕστερον. ἔτι ἐπειδὴ ἔστι πρῶτον μὲν αὐτὸ τὸ ἕν, ἔπειτα τῶν ἄλλων ἔστι τι πρῶτον ἓν δεύτερον δὲ μετʼ ἐκεῖνο, καὶ πάλιν τρίτον τὸ δεύτερον μὲν μετὰ τὸ δεύτερον τρίτον δὲ μετὰ τὸ πρῶτον ἕν, - ὥστε πρότεραι ἂν εἶεν αἱ μονάδες ἢ οἱ ἀριθμοὶ ἐξ ὧν λέγονται, οἷον ἐν τῇ δυάδι τρίτη μονὰς ἔσται πρὶν τὰ τρία εἶναι, καὶ ἐν τῇ τριάδι τετάρτη καὶ ἡ πέμπτη πρὶν τοὺς ἀριθμοὺς τούτους. οὐδεὶς μὲν οὖν τὸν τρόπον τοῦτον εἴρηκεν αὐτῶν τὰς μονάδας ἀσυμβλήτους, ἔστι δὲ κατὰ μὲν τὰς ἐκείνων ἀρχὰς εὔλογον καὶ οὕτως, κατὰ μέντοι τὴν ἀλήθειαν ἀδύνατον. τάς τε γὰρ μονάδας προτέρας καὶ ὑστέρας εἶναι εὔλογον, εἴπερ καὶ πρώτη τις ἔστι μονὰς καὶ ἓν πρῶτον, ὁμοίως δὲ καὶ δυάδας, εἴπερ καὶ δυὰς πρώτη ἔστιν· μετὰ γὰρ τὸ πρῶτον εὔλογον καὶ ἀναγκαῖον δεύτερόν τι εἶναι, καὶ εἰ δεύτερον, τρίτον, καὶ οὕτω δὴ τὰ ἄλλα ἐφεξῆς (ἅμα δʼ ἀμφότερα λέγειν, μονάδα τε μετὰ τὸ ἓν πρώτην εἶναι καὶ δευτέραν, καὶ δυάδα πρώτην, ἀδύνατον). οἱ δὲ ποιοῦσι μονάδα μὲν καὶ ἓν πρῶτον, δεύτερον δὲ καὶ τρίτον οὐκέτι, καὶ δυάδα πρώτην, δευτέραν δὲ καὶ τρίτην οὐκέτι. φανερὸν δὲ καὶ ὅτι οὐκ ἐνδέχεται, εἰ ἀσύμβλητοι πᾶσαι αἱ μονάδες, δυάδα εἶναι αὐτὴν καὶ τριάδα καὶ οὕτω τοὺς ἄλλους ἀριθμούς. ἄν τε γὰρ ὦσιν ἀδιάφοροι αἱ μονάδες ἄν τε διαφέρουσαι ἑκάστη ἑκάστης, ἀνάγκη ἀριθμεῖσθαι τὸν ἀριθμὸν κατὰ πρόσθεσιν, οἷον τὴν δυάδα πρὸς τῷ ἑνὶ ἄλλου ἑνὸς προστεθέντος, καὶ τὴν τριάδα ἄλλου ἑνὸς πρὸς τοῖς δυσὶ προστεθέντος, καὶ τὴν τετράδα ὡσαύτως· τούτων δὲ ὄντων ἀδύνατον τὴν γένεσιν εἶναι τῶν ἀριθμῶν ὡς γεννῶσιν ἐκ τῆς δυάδος καὶ τοῦ ἑνός. μόριον γὰρ γίγνεται ἡ δυὰς τῆς τριάδος καὶ αὕτη τῆς τετράδος, τὸν αὐτὸν δὲ τρόπον συμβαίνει καὶ ἐπὶ τῶν ἐχομένων. ἀλλʼ ἐκ τῆς δυάδος τῆς πρώτης καὶ τῆς ἀορίστου δυάδος ἐγίγνετο ἡ τετράς, δύο δυάδες παρʼ αὐτὴν τὴν δυάδα· εἰ δὲ μή, μόριον ἔσται αὐτὴ ἡ δυάς, ἑτέρα δὲ προσέσται μία δυάς. καὶ ἡ δυὰς ἔσται ἐκ τοῦ ἑνὸς αὐτοῦ καὶ ἄλλου ἑνός· εἰ δὲ τοῦτο, οὐχ οἷόν τʼ εἶναι τὸ ἕτερον στοιχεῖον δυάδα ἀόριστον· μονάδα γὰρ μίαν γεννᾷ ἀλλʼ οὐ δυάδα ὡρισμένην. ἔτι παρʼ αὐτὴν τὴν τριάδα καὶ αὐτὴν τὴν δυάδα πῶς ἔσονται ἄλλαι τριάδες καὶ δυάδες; καὶ τίνα τρόπον ἐκ προτέρων μονάδων καὶ ὑστέρων σύγκεινται; πάντα γὰρ ταῦτʼ ἄτοπά ἐστι καὶ πλασματώδη, καὶ ἀδύνατον εἶναι πρώτην δυάδα, εἶτʼ αὐτὴν τριάδα. ἀνάγκη δʼ, ἐπείπερ ἔσται τὸ ἓν καὶ ἡ ἀόριστος δυὰς στοιχεῖα. εἰ δʼ ἀδύνατα τὰ συμβαίνοντα, καὶ τὰς ἀρχὰς εἶναι ταύτας ἀδύνατον. - εἰ μὲν οὖν διάφοροι αἱ μονάδες ὁποιαιοῦν ὁποιαισοῦν, ταῦτα καὶ τοιαῦθʼ ἕτερα συμβαίνει ἐξ ἀνάγκης· εἰ δʼ αἱ μὲν ἐν ἄλλῳ διάφοροι αἱ δʼ ἐν τῷ αὐτῷ ἀριθμῷ ἀδιάφοροι ἀλλήλαις μόναι, καὶ οὕτως οὐθὲν ἐλάττω συμβαίνει τὰ δυσχερῆ. οἷον γὰρ ἐν τῇ δεκάδι αὐτῇ ἔνεισι δέκα μονάδες, σύγκειται δὲ καὶ ἐκ τούτων καὶ ἐκ δύο πεντάδων ἡ δεκάς. ἐπεὶ δʼ οὐχ ὁ τυχὼν ἀριθμὸς αὐτὴ ἡ δεκὰς οὐδὲ σύγκειται ἐκ τῶν τυχουσῶν πεντάδων, ὥσπερ οὐδὲ μονάδων, ἀνάγκη διαφέρειν τὰς μονάδας τὰς ἐν τῇ δεκάδι ταύτῃ. ἂν γὰρ μὴ διαφέρωσιν, οὐδʼ αἱ πεντάδες διοίσουσιν ἐξ ὧν ἐστὶν ἡ δεκάς· ἐπεὶ δὲ διαφέρουσι, καὶ αἱ μονάδες διοίσουσιν. εἰ δὲ διαφέρουσι, πότερον οὐκ ἐνέσονται πεντάδες ἄλλαι ἀλλὰ μόνον αὗται αἱ δύο, ἢ ἔσονται; εἴτε δὲ μὴ ἐνέσονται, ἄτοπον· εἴτʼ ἐνέσονται, ποία ἔσται δεκὰς ἐξ ἐκείνων; οὐ γὰρ ἔστιν ἑτέρα δεκὰς ἐν τῇ δεκάδι παρʼ αὐτήν. ἀλλὰ μὴν καὶ ἀνάγκη γε μὴ ἐκ τῶν τυχουσῶν δυάδων τὴν τετράδα συγκεῖσθαι· ἡ γὰρ ἀόριστος δυάς, ὥς φασι, λαβοῦσα τὴν ὡρισμένην δυάδα δύο δυάδας ἐποίησεν· τοῦ γὰρ ληφθέντος ἦν δυοποιός. - ἔτι τὸ εἶναι παρὰ τὰς δύο μονάδας τὴν δυάδα φύσιν τινά, καὶ τὴν τριάδα παρὰ τὰς τρεῖς μονάδας, πῶς ἐνδέχεται; ἢ γὰρ μεθέξει θατέρου θατέρου, ὥσπερ λευκὸς ἄνθρωπος παρὰ λευκὸν καὶ ἄνθρωπον (μετέχει γὰρ τούτων), ἢ ὅταν ᾖ θατέρου θάτερον διαφορά τις, ὥσπερ ὁ ἄνθρωπος παρὰ ζῷον καὶ δίπουν. ἔτι τὰ μὲν ἁφῇ ἐστὶν ἓν τὰ δὲ μίξει τὰ δὲ θέσει· ὧν οὐδὲν ἐνδέχεται ὑπάρχειν ταῖς μονάσιν ἐξ ὧν ἡ δυὰς καὶ ἡ τριάς· ἀλλʼ ὥσπερ οἱ δύο ἄνθρωποι οὐχ ἕν τι παρʼ ἀμφοτέρους, οὕτως ἀνάγκη καὶ τὰς μονάδας. καὶ οὐχ ὅτι ἀδιαίρετοι, διοίσουσι διὰ τοῦτο· καὶ γὰρ αἱ στιγμαὶ ἀδιαίρετοι, ἀλλʼ ὅμως παρὰ τὰς δύο οὐθὲν ἕτερον ἡ δυὰς αὐτῶν. - ἀλλὰ μὴν οὐδὲ τοῦτο δεῖ λανθάνειν, ὅτι συμβαίνει προτέρας καὶ ὑστέρας εἶναι δυάδας, ὁμοίως δὲ καὶ τοὺς ἄλλους ἀριθμούς. αἱ μὲν γὰρ ἐν τῇ τετράδι δυάδες ἔστωσαν ἀλλήλαις ἅμα· ἀλλʼ αὗται τῶν ἐν τῇ ὀκτάδι πρότεραί εἰσι, καὶ ἐγέννησαν, ὥσπερ ἡ δυὰς ταύτας, αὗται τὰς τετράδας τὰς ἐν τῇ ὀκτάδι αὐτῇ, ὥστε εἰ καὶ ἡ πρώτη δυὰς ἰδέα, καὶ αὗται ἰδέαι τινὲς ἔσονται. ὁ δʼ αὐτὸς λόγος καὶ ἐπὶ τῶν μονάδων· αἱ γὰρ ἐν τῇ δυάδι τῇ πρώτῃ μονάδες γεννῶσι τὰς τέτταρας τὰς ἐν τῇ τετράδι, ὥστε πᾶσαι αἱ μονάδες ἰδέαι γίγνονται καὶ συγκείσεται ἰδέα ἐξ ἰδεῶν· ὥστε δῆλον ὅτι κἀκεῖνα ὧν ἰδέαι αὗται τυγχάνουσιν οὖσαι συγκείμενα ἔσται, οἷον εἰ τὰ ζῷα φαίη τις συγκεῖσθαι ἐκ ζῴων, εἰ τούτων ἰδέαι εἰσίν. - ὅλως δὲ τὸ ποιεῖν τὰς μονάδας διαφόρους ὁπωσοῦν ἄτοπον καὶ πλασματῶδες (λέγω δὲ πλασματῶδες τὸ πρὸς ὑπόθεσιν βεβιασμένον)· οὔτε γὰρ κατὰ τὸ ποσὸν οὔτε κατὰ τὸ ποιὸν ὁρῶμεν διαφέρουσαν μονάδα μονάδος, ἀνάγκη τε ἢ ἴσον ἢ ἄνισον εἶναι ἀριθμόν, πάντα μὲν ἀλλὰ μάλιστα τὸν μοναδικόν, ὥστʼ εἰ μήτε πλείων μήτʼ ἐλάττων, ἴσος· τὰ δὲ ἴσα καὶ ὅλως ἀδιάφορα ταὐτὰ ὑπολαμβάνομεν ἐν τοῖς ἀριθμοῖς. εἰ δὲ μή, οὐδʼ αἱ ἐν αὐτῇ τῇ δεκάδι δυάδες ἀδιάφοροι ἔσονται ἴσαι οὖσαι· τίνα γὰρ αἰτίαν ἕξει λέγειν ὁ φάσκων ἀδιαφόρους εἶναι; ἔτι εἰ ἅπασα μονὰς καὶ μονὰς ἄλλη δύο, ἡ ἐκ τῆς δυάδος αὐτῆς μονὰς καὶ ἡ ἐκ τῆς τριάδος αὐτῆς δυὰς ἔσται ἐκ διαφερουσῶν τε, καὶ πότερον προτέρα τῆς τριάδος ἢ ὑστέρα; μᾶλλον γὰρ ἔοικε προτέραν ἀναγκαῖον εἶναι· ἡ μὲν γὰρ ἅμα τῇ τριάδι ἡ δʼ ἅμα τῇ δυάδι τῶν μονάδων. καὶ ἡμεῖς μὲν ὑπολαμβάνομεν ὅλως ἓν καὶ ἕν, καὶ ἐὰν ᾖ ἴσα ἢ ἄνισα, δύο εἶναι, οἷον τὸ ἀγαθὸν καὶ τὸ κακόν, καὶ ἄνθρωπον καὶ ἵππον· οἱ δʼ οὕτως λέγοντες οὐδὲ τὰς μονάδας. εἴτε δὲ μὴ ἔστι πλείων ἀριθμὸς ὁ τῆς τριάδος αὐτῆς ἢ ὁ τῆς δυάδος, θαυμαστόν· εἴτε ἐστὶ πλείων, δῆλον ὅτι καὶ ἴσος ἔνεστι τῇ δυάδι, ὥστε οὗτος ἀδιάφορος αὐτῇ τῇ δυάδι. ἀλλʼ οὐκ ἐνδέχεται, εἰ πρῶτός τις ἔστιν ἀριθμὸς καὶ δεύτερος. οὐδὲ ἔσονται αἱ ἰδέαι ἀριθμοί. τοῦτο μὲν γὰρ αὐτὸ ὀρθῶς λέγουσιν οἱ διαφόρους τὰς μονάδας ἀξιοῦντες εἶναι, εἴπερ ἰδέαι ἔσονται, ὥσπερ εἴρηται πρότερον· ἓν γὰρ τὸ εἶδος, αἱ δὲ μονάδες εἰ ἀδιάφοροι, καὶ αἱ δυάδες καὶ αἱ τριάδες ἔσονται ἀδιάφοροι. διὸ καὶ τὸ ἀριθμεῖσθαι οὕτως, ἓν δύο, μὴ προσλαμβανομένου πρὸς τῷ ὑπάρχοντι ἀναγκαῖον αὐτοῖς λέγειν (οὔτε γὰρ ἡ γένεσις ἔσται ἐκ τῆς ἀορίστου δυάδος, οὔτʼ ἰδέαν ἐνδέχεται εἶναι· ἐνυπάρξει γὰρ ἑτέρα ἰδέα ἐν ἑτέρᾳ, καὶ πάντα τὰ εἴδη ἑνὸς μέρη)· διὸ πρὸς μὲν τὴν ὑπόθεσιν ὀρθῶς λέγουσιν, ὅλως δʼ οὐκ ὀρθῶς· πολλὰ γὰρ ἀναιροῦσιν, ἐπεὶ τοῦτό γʼ αὐτὸ ἔχειν τινὰ φήσουσιν ἀπορίαν, πότερον, ὅταν ἀριθμῶμεν καὶ εἴπωμεν ἓν δύο τρία, προσλαμβάνοντες ἀριθμοῦμεν ἢ κατὰ μερίδας. ποιοῦμεν δὲ ἀμφοτέρως· διὸ γελοῖον ταύτην εἰς τηλικαύτην τῆς οὐσίας ἀνάγειν διαφοράν.

First, then, we must inquire whether the limits are addible or inaddible; and if inaddible, in which of the two ways which we have distinguished. For it is possible either (a) that any one unit is inaddible to any other, or (b) that the units in the Ideal 2 are inaddible to those in the Ideal 3, and thus that the units in each Ideal number are inaddible to those in the other Ideal numbers. Now if all units are addible and do not differ in kind, we get one type of number only, the mathematical, and the Ideas cannot be the numbers thus produced; for how can we regard the Idea of Man or Animal, or any other Form, as a number? There is one Idea of each kind of thing: e.g. one of Humanity and another one of Animality; but the numbers which are similar and do not differ in kind are infinitely many, so that this is no more the Idea of Man than any other 3 is. But if the Ideas are not numbers, they cannot exist at all; for from what principles can the Ideas be derived? Number is derived from Unity and the indeterminate dyad, and the principles and elements are said to be the principles and elements of number, and the Ideas cannot be placed either as prior or as posterior to numbers. But if the units are inaddible in the sense that any one unit is inaddible to any other, the number so composed can be neither mathematical number (since mathematical number consists of units which do not differ, and the facts demonstrated of it fit in with this character) nor Ideal number. For on this view 2 will not be the first number generated from Unity and the indeterminate dyad, and then the other numbers in succession, as they say 2, 3, because the units in the primary 2 are generated at the same time, whether, as the originator of the theory held, from unequals (coming into being when these were equalized), or otherwise - since if we regard the one unit as prior to the other, it will be prior also to the 2 which is composed of them; because whenever one thing is prior and another posterior, their compound will be prior to the latter and posterior to the former. Further, since the Ideal 1 is first, and then comes a particular 1 which is first of the other 1’s but second after the Ideal 1, and then a third 1 which is next after the second but third after the first 1, it follows that the units will be prior to the numbers after which they are called; e.g., there will be a third unit in 2 before 3 exists, and a fourth and fifth in 3 before these numbers exist. It is true that nobody has represented the units of numbers as inaddible in this way; but according to the principles held by these thinkers even this view is quite reasonable, although in actual fact it is untenable. For assuming that there is a first unit or first 1, it is reasonable that the units should be prior and posterior; and similarly in the case of 2’s, if there is a first 2. For it is reasonable and indeed necessary that after the first there should be a second; and if a second, a third; and so on with the rest in sequence. But the two statements, that there is after 1 a first and a second unit, and that there is a first 2, are incompatible. These thinkers, however, recognize a first unit and first 1, but not a second and third; and they recognize a first 2, but not a second and third. It is also evident that if all units are inaddible, there cannot be an Ideal 2 and 3, and similarly with the other numbers; for whether the units are indistinguishable or each is different in kind from every other, numbers must be produced by addition; e.g. 2 by adding 1 to another 1, and 3 by adding another 1 to the 2, and 4 similarly. This being so, numbers cannot be generated as these thinkers try to generate them, from Unity and the dyad; because 2 becomes a part of 3, and 3 of 4, and the same applies to the following numbers. But according to them 4 was generated from the first 2 and the indeterminate dyad, thus consisting of two 2’s apart from the Ideal 2. Otherwise 4 will consist of the Ideal 2 and another 2 added to it, and the Ideal 2 will consist of the Ideal 1 and another 1; and if this is so the other element cannot be the indeterminate dyad, because it produces one unit and not a definite 2. Again, how can there be other 3’s and 2’s besides the Ideal numbers 3 and 2, and in what way can they be composed of prior and posterior units? All these theories are absurd and fictitious, and there can be no primary 2 and Ideal 3. Yet there must be, if we are to regard Unity and the indeterminate dyad as elements. But if the consequences are impossible, the principles cannot be of this nature. If, then, any one unit differs in kind from any other, these and other similar consequences necessarily follow. If, on the other hand, while the units in different numbers are different, those which are in the same number are alone indistinguishable from one another, even so the consequences which follow are no less difficult. For example, in the Ideal number 10 there are ten units, and 10 is composed both of these and of two 5’s. Now since the Ideal 10 is not a chance number, and is not composed of chance 5’s, any more than of chance units, the units in this number 10 must be different; for if they are not different, the 5’s of which the 10 is composed will not be different; but since these are different, the units must be different too. Now if the units are different, will there or will there not be other 5’s in this 10, and not only the two? If there are not, the thing is absurd ; whereas if there are, what sort of 10 will be composed of them? for there is no other 10 in 10 besides the 10 itself: Again, it must also be true that 4 is not composed of chance 2’s. For according to them the indeterminate dyad, receiving the determinate dyad, made two dyads; for it was capable of duplicating that which it received. Again, how is it possible that 2 can be a definite entity existing besides the two units, and 3 besides the three units? Either by participation of the one in the other, as white man exists besides white and man, because it partakes of these concepts; or when the one is a differentia of the other, as man exists besides animal and two-footed. Again, some things are one by contact, others by mixture, and others by position; but none of these alternatives can possibly apply to the units of which 2 and 3 consist. Just as two men do not constitute any one thing distinct from both of them, so it must be with the units. The fact that the units are indivisible will make no difference; because points are indivisible also, but nevertheless a pair of points is not anything distinct from the two single points. Moreover we must not fail to realize this: that on this theory it follows that 2’s are prior and posterior, and the other numbers similarly. Let it be granted that the 2’s in 4 are contemporaneous; yet they are prior to those in 8, and just as the 〈determinate〉 2 produced the 2’s in 4, so they produced the 4’s in 8. Hence if the original 2 is an Idea, these 2’s will also be Ideas of a sort. And the same argument applies to the units, because the units in the original 2 produce the four units in 4; and so all the units become Ideas, and an Idea will be composed of Ideas. Hence clearly those things also of which these things are Ideas will be composite; e.g., one might say that animals are composed of animals, if there are Ideas of animals. In general, to regard units as different in any way whatsoever is absurd and fictitious (by fictitious I mean dragged in to support a hypothesis ). For we can see that one unit differs from another neither in quantity nor in quality; and a number must be either equal or unequal - this applies to all numbers, but especially to numbers consisting of abstract units. Thus if a number is neither more nor less, it is equal; and things which are equal and entirely without difference we assume, in the sphere of number, to be identical. Otherwise even the 2’s in the Ideal 10 will be different, although they are equal; for if anyone maintains that they are not different, what reason will he be able to allege? Again, if every unit plus another unit makes 2, a unit from the Ideal 2 plus one from the Ideal 3 will make 2 - a 2 composed of different units ; will this be prior or posterior to 3? It rather seems that it must be prior, because one of the units is contemporaneous with 3, and the other with 2. We assume that in general 1 and 1, whether the things are equal or unequal, make 2; e.g. good and bad, or man and horse; but the supporters of this theory say that not even two units make 2. If the number of the Ideal 3 is not greater than that of the Ideal 2, it is strange; and if it is greater, then clearly there is a number in it equal to the 2, so that this number is not different from the Ideal 2. But this is impossible, if there is a first and second number. Nor will the Ideas be numbers. For on this particular point they are right who claim that the units must be different if there are to be Ideas, as has been already stated. For the form is unique; but if the units are undifferentiated, the 2’s and 3’s will be undifferentiated. Hence they have to say that when we count like this, l, 2, we do not add to the already existing number; for if we do, (a) number will not be generated from the indeterminate dyad, and (b) a number cannot be an Idea; because one Idea will pre-exist in another, and all the Forms will be parts of one Form. Thus in relation to their hypothesis they are right, but absolutely they are wrong, for their view is very destructive, inasmuch as they will say that this point presents a difficulty: whether, when we count and say 1, 2, 3, we count by addition or by enumerating distinct portions. But we do both; and therefore it is ridiculous to refer this point to so great a difference in essence.

Nous devons donc examiner d’abord si les limites sont additionnables ou inadditionnables et, si elles sont inadditionnables, auquel des deux sens que nous avons distingués elles le sont. Car il est possible soit a) que toute unité soit inadditionnable à toute autre, soit b) que les unités du 2 idéal soient inadditionnables à celles du 3 idéal et qu’ainsi les unités de chaque nombre idéal soient inadditionnables à celles des autres nombres idéaux. Or, si toutes les unités sont additionnables et ne diffèrent pas par l’espèce, nous n’obtenons qu’un seul type de nombre, le nombre mathématique, et les Idées ne peuvent être les nombres ainsi produits. Comment, en effet, pourrions-nous considérer l’Idée de l’Homme ou de l’Animal, ou toute autre Forme, comme un nombre ? Il existe une seule Idée de chaque genre de chose, par exemple une de l’Humanité et une autre de l’Animalité ; mais les nombres semblables et ne différant pas par l’espèce sont en nombre infini, si bien que ce 3 n’est pas davantage l’Idée de l’Homme que n’importe quel autre 3. Mais si les Idées ne sont pas des nombres, elles ne peuvent absolument pas exister. De quels principes, en effet, les Idées pourraient-elles dériver ? Le Nombre dérive de l’Unité et de la dyade indéterminée ; les principes et les éléments sont dits être les principes et les éléments du nombre ; et les Idées ne peuvent être placées ni avant ni après les nombres. Mais si les unités sont inadditionnables en ce sens que toute unité est inadditionnable à toute autre, le nombre ainsi composé ne peut être ni le nombre mathématique, puisque le nombre mathématique est constitué d’unités qui ne diffèrent pas et que les propriétés qu’on en démontre s’accordent avec ce caractère, ni le nombre idéal. Car, selon cette conception, 2 ne sera pas le premier nombre engendré à partir de l’Unité et de la dyade indéterminée, suivi des autres nombres successivement, comme ils disent 2, 3, puisque les unités du 2 premier sont engendrées simultanément, que ce soit, comme le soutenait l’auteur de la théorie, à partir d’inégaux, leur venue à l’être se produisant lorsque ceux-ci furent égalisés, ou d’une autre manière. En effet, si nous considérons qu’une unité est antérieure à l’autre, elle sera aussi antérieure au 2 qui en est composé, car chaque fois qu’une chose est antérieure et une autre postérieure, leur composé sera antérieur à la seconde et postérieur à la première. De plus, puisque le 1 idéal est premier, que vient ensuite un certain 1 qui est le premier des autres 1, mais le second après le 1 idéal, puis un troisième 1 qui vient après le second, mais qui est le troisième après le premier 1, il s’ensuit que les unités seront antérieures aux nombres d’après lesquels elles sont nommées. Par exemple, il y aura une troisième unité dans 2 avant que 3 existe, et une quatrième et une cinquième dans 3 avant que ces nombres existent. Il est vrai que personne n’a présenté les unités des nombres comme inadditionnables de cette manière. Mais, d’après les principes admis par ces penseurs, même cette conception est parfaitement raisonnable, bien qu’elle soit en réalité insoutenable. Car, à supposer qu’il existe une unité première ou un premier 1, il est raisonnable que les unités soient antérieures et postérieures ; il en va de même pour les 2, s’il existe un premier 2. Il est en effet raisonnable, et même nécessaire, qu’après le premier il y ait un second ; et, s’il y a un second, un troisième, et ainsi de suite pour le reste de la série. Mais ces deux affirmations sont incompatibles : il y a, après 1, une première et une seconde unité ; et il y a un premier 2. Ces penseurs reconnaissent pourtant une unité première et un premier 1, mais non un deuxième et un troisième ; ils reconnaissent aussi un premier 2, mais non un deuxième et un troisième. Il est également évident que, si toutes les unités sont inadditionnables, il ne peut y avoir de 2 ni de 3 idéal, et de même pour les autres nombres. En effet, que les unités soient indiscernables ou que chacune diffère spécifiquement de toutes les autres, les nombres doivent être produits par addition, par exemple 2 par l’addition de 1 à un autre 1, 3 par l’addition d’un autre 1 à 2, et 4 de même. Cela étant, les nombres ne peuvent être engendrés de la manière dont ces penseurs essaient de les engendrer, à partir de l’Unité et de la dyade, parce que 2 devient une partie de 3, et 3 une partie de 4, et qu’il en va de même pour les nombres suivants. Mais, selon eux, 4 fut engendré à partir du premier 2 et de la dyade indéterminée, et consiste ainsi en deux 2 distincts du 2 idéal. Autrement, 4 consistera dans le 2 idéal auquel s’ajoute un autre 2, et le 2 idéal consistera dans le 1 idéal auquel s’ajoute un autre 1. S’il en est ainsi, l’autre élément ne peut être la dyade indéterminée, car elle produit une unité et non un 2 déterminé. En outre, comment peut-il exister d’autres 3 et d’autres 2 en dehors des nombres idéaux 3 et 2, et de quelle manière peuvent-ils être composés d’unités antérieures et postérieures ? Toutes ces théories sont absurdes et fictives, et il ne peut y avoir de 2 premier ni de 3 idéal. Pourtant, il doit y en avoir si nous devons considérer l’Unité et la dyade indéterminée comme des éléments. Mais, si les conséquences sont impossibles, les principes ne peuvent être de cette nature. Si donc toute unité diffère spécifiquement de toute autre, ces conséquences et d’autres semblables s’ensuivent nécessairement. Si, en revanche, les unités appartenant à des nombres différents sont différentes, tandis que seules celles qui appartiennent au même nombre sont indiscernables les unes des autres, les conséquences qui en découlent n’en sont pas moins difficiles. Par exemple, le nombre idéal 10 contient dix unités, et 10 est composé à la fois de celles-ci et de deux 5. Or, puisque le 10 idéal n’est pas un nombre quelconque et n’est pas composé de 5 quelconques, pas plus que d’unités quelconques, les unités contenues dans ce nombre 10 doivent être différentes. Car, si elles ne sont pas différentes, les 5 dont 10 est composé ne seront pas différents ; mais, puisque ceux-ci sont différents, les unités doivent également être différentes. Or, si les unités sont différentes, y aura-t-il ou non, dans ce 10, d’autres 5 que les deux seulement ? S’il n’y en a pas, la chose est absurde ; mais s’il y en a, quelle sorte de 10 en sera composée ? Car il n’existe dans 10 aucun autre 10 que 10 lui-même. En outre, il faut aussi que 4 ne soit pas composé de 2 quelconques. Selon eux, en effet, la dyade indéterminée, en recevant la dyade déterminée, fit deux dyades, car elle était capable de doubler ce qu’elle recevait. En outre, comment est-il possible que 2 soit une entité déterminée existant en plus des deux unités, et 3 en plus des trois unités ? Ce peut être soit par la participation de l’un à l’autre, comme l’homme blanc existe en plus de blanc et d’homme parce qu’il participe à ces concepts ; soit lorsque l’un est une différence de l’autre, comme l’homme existe en plus d’animal et de bipède. En outre, certaines choses sont unes par contact, d’autres par mélange et d’autres par position ; mais aucune de ces possibilités ne peut s’appliquer aux unités dont 2 et 3 sont constitués. De même que deux hommes ne constituent pas une chose une distincte de tous deux, il doit en aller ainsi des unités. Le fait que les unités soient indivisibles n’y changera rien, car les points sont également indivisibles ; néanmoins, une paire de points n’est rien de distinct des deux points pris séparément. De plus, nous ne devons pas manquer de comprendre que, selon cette théorie, il s’ensuit que les 2 sont antérieurs et postérieurs, et de même pour les autres nombres. Accordons que les 2 compris dans 4 sont contemporains ; ils sont pourtant antérieurs à ceux qui sont compris dans 8 et, de même que le 2 〈déterminé〉 produisit les 2 compris dans 4, ceux-ci produisirent les 4 compris dans 8. Par conséquent, si le 2 originel est une Idée, ces 2 seront eux aussi des Idées d’une certaine sorte. Le même argument s’applique aux unités, puisque les unités du 2 originel produisent les quatre unités de 4. Ainsi, toutes les unités deviennent des Idées, et une Idée sera composée d’Idées. Il est donc clair que les choses dont celles-ci sont les Idées seront elles aussi composées. Par exemple, on pourrait dire que les animaux sont composés d’animaux, s’il existe des Idées d’animaux. D’une manière générale, considérer que les unités diffèrent de quelque manière que ce soit est absurde et fictif, et par fictif j’entends introduit de force pour soutenir une hypothèse. Nous pouvons en effet voir qu’une unité ne diffère d’une autre ni par la quantité ni par la qualité ; et un nombre doit être égal ou inégal. Cela s’applique à tous les nombres, mais surtout aux nombres constitués d’unités abstraites. Ainsi, si un nombre n’est ni plus grand ni plus petit, il est égal ; et les choses qui sont égales et entièrement dépourvues de différence, nous les tenons, dans le domaine du nombre, pour identiques. Autrement, même les 2 contenus dans le 10 idéal seront différents, bien qu’ils soient égaux. Car si quelqu’un soutient qu’ils ne sont pas différents, quelle raison pourra-t-il invoquer ? En outre, si toute unité ajoutée à une autre unité fait 2, une unité du 2 idéal ajoutée à une unité du 3 idéal fera 2, un 2 composé d’unités différentes. Ce 2 sera-t-il antérieur ou postérieur à 3 ? Il semble plutôt devoir être antérieur, parce que l’une des unités est contemporaine de 3 et l’autre de 2. Nous supposons qu’en général 1 et 1, que les choses soient égales ou inégales, font 2, par exemple le bien et le mal, ou l’homme et le cheval ; mais les partisans de cette théorie disent que même deux unités ne font pas 2. Si le nombre du 3 idéal n’est pas plus grand que celui du 2 idéal, c’est étrange ; et s’il est plus grand, il est clair qu’il contient un nombre égal à 2, de sorte que ce nombre ne diffère pas du 2 idéal. Mais cela est impossible s’il existe un premier et un second nombre. Les Idées ne seront pas non plus des nombres. Sur ce point particulier, ceux qui affirment que les unités doivent être différentes pour qu’il y ait des Idées ont raison, comme on l’a déjà dit. Car la Forme est unique ; mais, si les unités sont indifférenciées, les 2 et les 3 seront indifférenciés. Ils sont donc contraints de dire que, lorsque nous comptons ainsi, 1, 2, nous n’ajoutons rien au nombre déjà existant. Car, si nous le faisons, a) le nombre ne sera pas engendré à partir de la dyade indéterminée et b) un nombre ne peut être une Idée, parce qu’une Idée préexistera dans une autre et que toutes les Formes seront des parties d’une seule Forme. Ainsi, relativement à leur hypothèse, ils ont raison, mais absolument parlant ils ont tort, car leur conception est très destructrice, puisqu’ils diront que ce point soulève une difficulté : lorsque nous comptons et disons 1, 2, 3, comptons-nous par addition ou en énumérant des parties distinctes ? Or nous faisons les deux. Il est donc ridicule de rapporter ce point à une si grande différence d’essence.