Metaphysics Section 3

οἱ μὲν οὖν τιθέμενοι τὰς ἰδέας εἶναι, καὶ ἀριθμοὺς αὐτὰς εἶναι, τῷ κατὰ τὴν ἔκθεσιν ἑκάστου παρὰ τὰ πολλὰ λαμβάνειν τὸ ἕν τι ἕκαστον πειρῶνταί γε λέγειν πως διὰ τί ἔστιν, οὐ μὴν ἀλλὰ ἐπεὶ οὔτε ἀναγκαῖα οὔτε δυνατὰ ταῦτα, οὐδὲ τὸν ἀριθμὸν διά γε ταῦτα εἶναι λεκτέον· οἱ δὲ Πυθαγόρειοι διὰ τὸ ὁρᾶν πολλὰ τῶν ἀριθμῶν πάθη ὑπάρχοντα τοῖς αἰσθητοῖς σώμασιν, εἶναι μὲν ἀριθμοὺς ἐποίησαν τὰ ὄντα, οὐ χωριστοὺς δέ, ἀλλʼ ἐξ ἀριθμῶν τὰ ὄντα· διὰ τί δέ; ὅτι τὰ πάθη τὰ τῶν ἀριθμῶν ἐν ἁρμονίᾳ ὑπάρχει καὶ ἐν τῷ οὐρανῷ καὶ ἐν πολλοῖς ἄλλοις. τοῖς δὲ τὸν μαθηματικὸν μόνον λέγουσιν εἶναι ἀριθμὸν οὐθὲν τοιοῦτον ἐνδέχεται λέγειν κατὰ τὰς ὑποθέσεις, ἀλλʼ ὅτι οὐκ ἔσονται αὐτῶν αἱ ἐπιστῆμαι ἐλέγετο. ἡμεῖς δέ φαμεν εἶναι, καθάπερ εἴπομεν πρότερον. καὶ δῆλον ὅτι οὐ κεχώρισται τὰ μαθηματικά· οὐ γὰρ ἂν κεχωρισμένων τὰ πάθη ὑπῆρχεν ἐν τοῖς σώμασιν. οἱ μὲν οὖν Πυθαγόρειοι κατὰ μὲν τὸ τοιοῦτον οὐθενὶ ἔνοχοί εἰσιν, κατὰ μέντοι τὸ ποιεῖν ἐξ ἀριθμῶν τὰ φυσικὰ σώματα, ἐκ μὴ ἐχόντων βάρος μηδὲ κουφότητα ἔχοντα κουφότητα καὶ βάρος, ἐοίκασι περὶ ἄλλου οὐρανοῦ λέγειν καὶ σωμάτων ἀλλʼ οὐ τῶν αἰσθητῶν· οἱ δὲ χωριστὸν ποιοῦντες, ὅτι ἐπὶ τῶν αἰσθητῶν οὐκ ἔσται τὰ ἀξιώματα, ἀληθῆ δὲ τὰ λεγόμενα καὶ σαίνει τὴν ψυχήν, εἶναί τε ὑπολαμβάνουσι καὶ χωριστὰ εἶναι· ὁμοίως δὲ καὶ τὰ μεγέθη τὰ μαθηματικά. δῆλον οὖν ὅτι καὶ ὁ ἐναντιούμενος λόγος τἀναντία ἐρεῖ, καὶ ὃ ἄρτι ἠπορήθη λυτέον τοῖς οὕτω λέγουσι, διὰ τί οὐδαμῶς ἐν τοῖς αἰσθητοῖς ὑπαρχόντων τὰ πάθη ὑπάρχει αὐτῶν ἐν τοῖς αἰσθητοῖς. εἰσὶ δέ τινες οἳ ἐκ τοῦ πέρατα εἶναι καὶ ἔσχατα τὴν στιγμὴν μὲν γραμμῆς, ταύτην δʼ ἐπιπέδου, τοῦτο δὲ τοῦ στερεοῦ, οἴονται εἶναι ἀνάγκην τοιαύτας φύσεις εἶναι. δεῖ δὴ καὶ τοῦτον ὁρᾶν τὸν λόγον, μὴ λίαν ᾖ μαλακός. οὔτε γὰρ οὐσίαι εἰσὶ τὰ ἔσχατα ἀλλὰ μᾶλλον πάντα ταῦτα πέρατα (ἑπεὶ καὶ τῆς βαδίσεως καὶ ὅλως κινήσεως ἔστι τι πέρας· τοῦτʼ οὖν ἔσται τόδε τι καὶ οὐσία τις· ἀλλʼ ἄτοπον)· - οὐ μὴν ἀλλὰ εἰ καὶ εἰσί, τῶνδε τῶν αἰσθητῶν ἔσονται πάντα (ἐπὶ τούτων γὰρ ὁ λόγος εἴρηκεν)· διὰ τί οὖν χωριστὰ ἔσται; - ἔτι δὲ ἐπιζητήσειεν ἄν τις μὴ λίαν εὐχερὴς ὢν περὶ μὲν τοῦ ἀριθμοῦ παντὸς καὶ τῶν μαθηματικῶν τὸ μηθὲν συμβάλλεσθαι ἀλλήλοις τὰ πρότερα τοῖς ὕστερον (μὴ ὄντος γὰρ τοῦ ἀριθμοῦ οὐθὲν ἧττον τὰ μεγέθη ἔσται τοῖς τὰ μαθηματικὰ μόνον εἶναι φαμένοις, καὶ τούτων μὴ ὄντων ἡ ψυχὴ καὶ τὰ σώματα τὰ αἰσθητά· οὐκ ἔοικε δʼ ἡ φύσις ἐπεισοδιώδης οὖσα ἐκ τῶν φαινομένων, ὥσπερ μοχθηρὰ τραγῳδία)· τοῖς δὲ τὰς ἰδέας τιθεμένοις τοῦτο μὲν ἐκφεύγει - ποιοῦσι γὰρ τὰ μεγέθη ἐκ τῆς ὕλης καὶ ἀριθμοῦ, ἐκ μὲν τῆς δυάδος τὰ μήκη, ἐκ τριάδος δʼ ἴσως τὰ ἐπίπεδα, ἐκ δὲ τῆς τετράδος τὰ στερεὰ ἢ καὶ ἐξ ἄλλων ἀριθμῶν· διαφέρει γὰρ οὐθέν - , ἀλλὰ ταῦτά γε πότερον ἰδέαι ἔσονται, ἢ τίς ὁ τρόπος αὐτῶν, καὶ τί συμβάλλονται τοῖς οὖσιν; οὐθὲν γάρ, ὥσπερ οὐδὲ τὰ μαθηματικά, οὐδὲ ταῦτα συμβάλλεται. ἀλλὰ μὴν οὐδʼ ὑπάρχει γε κατʼ αὐτῶν οὐθὲν θεώρημα, ἐὰν μή τις βούληται κινεῖν τὰ μαθηματικὰ καὶ ποιεῖν ἰδίας τινὰς δόξας. ἔστι δʼ οὐ χαλεπὸν ὁποιασοῦν ὑποθέσεις λαμβάνοντας μακροποιεῖν καὶ συνείρειν. οὗτοι μὲν οὖν ταύτῃ προσγλιχόμενοι ταῖς ἰδέαις τὰ μαθηματικὰ διαμαρτάνουσιν· οἱ δὲ πρῶτοι δύο τοὺς ἀριθμοὺς ποιήσαντες, τόν τε τῶν εἰδῶν καὶ τὸν μαθηματικόν, οὔτʼ εἰρήκασιν οὔτʼ ἔχοιεν ἂν εἰπεῖν πῶς καὶ ἐκ τίνος ἔσται ὁ μαθηματικός. ποιοῦσι γὰρ αὐτὸν μεταξὺ τοῦ εἰδητικοῦ καὶ τοῦ αἰσθητοῦ. εἰ μὲν γὰρ ἐκ τοῦ μεγάλου καὶ μικροῦ, ὁ αὐτὸς ἐκείνῳ ἔσται τῷ τῶν ἰδεῶν (ἐξ ἄλλου δέ τινος μικροῦ καὶ μεγάλου τὰ γὰρ μεγέθη ποιεῖ)· εἰ δʼ ἕτερόν τι ἐρεῖ, πλείω τὰ στοιχεῖα ἐρεῖ· καὶ εἰ ἕν τι ἑκατέρου ἡ ἀρχή, κοινόν τι ἐπὶ τούτων ἔσται τὸ ἕν, ζητητέον τε πῶς καὶ ταῦτα πολλὰ τὸ ἓν καὶ ἅμα τὸν ἀριθμὸν γενέσθαι ἄλλως ἢ ἐξ ἑνὸς καὶ δυάδος ἀορίστου ἀδύνατον κατʼ ἐκεῖνον. πάντα δὴ ταῦτα ἄλογα, καὶ μάχεται καὶ αὐτὰ ἑαυτοῖς καὶ τοῖς εὐλόγοις, καὶ ἔοικεν ἐν αὐτοῖς εἶναι ὁ Σιμωνίδου μακρὸς λόγος· γίγνεται γὰρ ὁ μακρὸς λόγος ὥσπερ ὁ τῶν δούλων ὅταν μηθὲν ὑγιὲς λέγωσιν. φαίνεται δὲ καὶ αὐτὰ τὰ στοιχεῖα τὸ μέγα καὶ τὸ μικρὸν βοᾶν ὡς ἑλκόμενα· οὐ δύναται γὰρ οὐδαμῶς γεννῆσαι τὸν ἀριθμὸν ἀλλʼ ἢ τὸν ἀφʼ ἑνὸς διπλασιαζόμενον. - ἄτοπον δὲ καὶ γένεσιν ποιεῖν ἀϊδίων ὄντων, μᾶλλον δʼ ἕν τι τῶν ἀδυνάτων. οἱ μὲν οὖν Πυθαγόρειοι πότερον οὐ ποιοῦσιν ἢ ποιοῦσι γένεσιν οὐδὲν δεῖ διστάζειν· φανερῶς γὰρ λέγουσιν ὡς τοῦ ἑνὸς συσταθέντος, εἴτʼ ἐξ ἐπιπέδων εἴτʼ ἐκ χροιᾶς εἴτʼ ἐκ σπέρματος εἴτʼ ἐξ ὧν ἀποροῦσιν εἰπεῖν, εὐθὺς τὸ ἔγγιστα τοῦ ἀπείρου ὅτι εἵλκετο καὶ ἐπεραίνετο ὑπὸ τοῦ πέρατος. ἀλλʼ ἐπειδὴ κοσμοποιοῦσι καὶ φυσικῶς βούλονται λέγειν, δίκαιον αὐτοὺς ἐξετάζειν τι περὶ φύσεως, ἐκ δὲ τῆς νῦν ἀφεῖναι μεθόδου· τὰς γὰρ ἐν τοῖς ἀκινήτοις ζητοῦμεν ἀρχάς, ὥστε καὶ τῶν ἀριθμῶν τῶν τοιούτων ἐπισκεπτέον τὴν γένεσιν.

Those, then, who posit the Ideas and identify them with numbers, by their assumption (in accordance with their method of abstracting each general term from its several concrete examples) that every general term is a unity, make some attempt to explain why number exists. Since, however, their arguments are neither necessarily true nor indeed possible, there is no justification on this ground for maintaining the existence of number. The Pythagoreans, on the other hand, observing that many attributes of numbers apply to sensible bodies, assumed that real things are numbers; not that numbers exist separately, but that real things are composed of numbers. But why? Because the attributes of numbers are to be found in a musical scale, in the heavens, and in many other connections. As for those who hold that mathematical number alone exists, they cannot allege anything of this kind consistently with their hypotheses; what they did say was that the sciences could not have sensible things as their objects. But we maintain that they can; as we have said before. And clearly the objects of mathematics do not exist in separation; for if they did their attributes would not be present in corporeal things. Thus in this respect the Pythagoreans are immune from criticism; but in so far as they construct natural bodies, which have lightness and weight, out of numbers which have no weight or lightness, they appear to be treating of another universe and other bodies, not of sensible ones. But those who treat number as separable assume that it exists and is separable because the axioms will not apply to sensible objects; whereas the statements of mathematics are true and appeal to the soul. The same applies to mathematical extended magnitudes. It is clear, then, both that the contrary theory can make out a case for the contrary view, and that those who hold this theory must find a solution for the difficulty which was recently raised - why it is that while numbers are in no way present in sensible things, their attributes are present in sensible things. There are some who think that, because the point is the limit and extreme of the line, and the line of the plane, and the plane of the solid, there must be entities of this kind. We must, then, examine this argument also, and see whether it is not exceptionally weak. For (1.) extremes are not substances; rather all such things are merely limits. Even walking, and motion in general, has some limit; so on the view which we are criticizing this will be an individual thing, and a kind of substance. But this is absurd. And moreover (2.) even if they are substances, they will all be substances of particular sensible things, since it was to these that the argument applied. Why, then, should they be separable? Again, we may, if we are not unduly acquiescent, further object with regard to all number and mathematical objects that they contribute nothing to each other, the prior to the posterior. For if number does not exist, none the less spatial magnitudes will exist for those who maintain that only the objects of mathematics exist; and if the latter do not exist, the soul and sensible bodies will exist. But it does not appear, to judge from the observed facts, that the natural system lacks cohesion, like a poorly constructed drama. Those who posit the Ideas escape this difficulty, because they construct spatial magnitudes out of matter and a number - 2 in the case of lines, and 3, presumably, in that of planes, and 4 in that of solids; or out of other numbers, for it makes no difference. But are we to regard these magnitudes as Ideas, or what is their mode of existence? and what contribution do they make to reality? They contribute nothing; just as the objects of mathematics contribute nothing. Moreover, no mathematical theorem applies to them, unless one chooses to interfere with the principles of mathematics and invent peculiar theories of one’s own. But it is not difficult to take any chance hypotheses and enlarge upon them and draw out a long string of conclusions. These thinkers, then, are quite wrong in thus striving to connect the objects of mathematics with the Ideas. But those who first recognized two kinds of number, the Ideal and the mathematical as well, neither have explained nor can explain in any way how mathematical number will exist and of what it will be composed; for they make it intermediate between Ideal and sensible number. For if it is composed of the Great and Small, it will be the same as the former, i.e. Ideal, number. But of what other Great and Small can it be composed? for Plato makes spatial magnitudes out of a Great and Small. And if he speaks of some other component, he will be maintaining too many elements; while if some one thing is the first principle of each kind of number, unity will be something common to these several kinds. We must inquire how it is that unity is these many things, when at the same time number, according to him, cannot be derived otherwise than from unity and an indeterminate dyad. All these views are irrational; they conflict both with one another and with sound logic, and it seems that in them we have a case of Simonides’ long story ; for men have recourse to the long story, such as slaves tell, when they have nothing satisfactory to say. The very elements too, the Great and Small, seem to protest at being dragged in; for they cannot possibly generate numbers except rising powers of 2. It is absurd also, or rather it is one of the impossibilities of this theory, to introduce generation of things which are eternal. There is no reason to doubt whether the Pythagoreans do or do not introduce it; for they clearly state that when the One had been constituted - whether out of planes or superficies or seed or out of something that they cannot explain - immediately the nearest part of the Infinite began to be drawn in and limited by the Limit. However, since they are here explaining the construction of the universe and meaning to speak in terms of physics, although we may somewhat criticize their physical theories, it is only fair to exempt them from the present inquiry; for it is the first principles in unchangeable things that we are investigating, and therefore we have to consider the generation of this kind of numbers.

Ceux donc qui posent les Idées et les identifient aux nombres, en supposant, conformément à leur méthode qui consiste à abstraire chaque terme général de ses divers exemples concrets, que tout terme général est une unité, tentent jusqu’à un certain point d’expliquer pourquoi le nombre existe. Cependant, puisque leurs arguments ne sont ni nécessairement vrais ni même possibles, rien ne justifie, sur ce fondement, d’affirmer l’existence du nombre. Les Pythagoriciens, en revanche, observant que de nombreux attributs des nombres s’appliquent aux corps sensibles, ont supposé que les réalités sont des nombres; non que les nombres existent séparément, mais que les réalités sont composées de nombres. Mais pourquoi? Parce que les attributs des nombres se retrouvent dans une gamme musicale, dans les cieux et dans beaucoup d’autres rapports. Quant à ceux qui soutiennent que seul le nombre mathématique existe, ils ne peuvent rien alléguer de semblable qui soit compatible avec leurs hypothèses; ce qu’ils disaient, c’est que les sciences ne pouvaient avoir les choses sensibles pour objets. Mais nous soutenons qu’elles le peuvent, comme nous l’avons dit précédemment. Et il est clair que les objets mathématiques n’existent pas séparément; car, s’ils existaient séparément, leurs attributs ne seraient pas présents dans les choses corporelles. À cet égard, les Pythagoriciens échappent donc à la critique; mais dans la mesure où ils construisent les corps naturels, qui possèdent légèreté et pesanteur, à partir de nombres dépourvus de pesanteur et de légèreté, ils semblent traiter d’un autre univers et d’autres corps, non des corps sensibles. Mais ceux qui tiennent le nombre pour séparable supposent qu’il existe et est séparable parce que les axiomes ne s’appliqueront pas aux objets sensibles, tandis que les énoncés mathématiques sont vrais et s’imposent à l’âme. Il en va de même des grandeurs mathématiques étendues. Il est donc clair, d’une part, que la théorie contraire peut plaider en faveur de l’opinion contraire et, d’autre part, que les tenants de cette théorie doivent résoudre la difficulté récemment soulevée: comment se fait-il que, bien que les nombres ne soient aucunement présents dans les choses sensibles, leurs attributs le soient? Certains pensent que, puisque le point est la limite et l’extrémité de la ligne, la ligne celles du plan, et le plan celles du solide, il doit exister des entités de cette espèce. Il faut donc examiner aussi cet argument et voir s’il n’est pas particulièrement faible. Car 1. les extrémités ne sont pas des substances; toutes les choses de ce genre ne sont plutôt que des limites. Même la marche, et le mouvement en général, a une limite; selon la conception que nous critiquons, celle-ci sera donc une chose individuelle et une sorte de substance. Mais cela est absurde. En outre, 2. même si ce sont des substances, elles seront toutes les substances de choses sensibles particulières, puisque c’est à celles-ci que s’appliquait l’argument. Pourquoi donc seraient-elles séparables? De plus, si nous ne sommes pas excessivement complaisants, nous pouvons encore objecter, à propos de tout nombre et de tous les objets mathématiques, qu’ils n’apportent rien les uns aux autres, les antérieurs aux postérieurs. Car si le nombre n’existe pas, les grandeurs spatiales n’en existeront pas moins pour ceux qui soutiennent que seuls existent les objets mathématiques; et si ces dernières n’existent pas, l’âme et les corps sensibles existeront. Mais, à en juger par les faits observés, il ne semble pas que le système de la nature manque de cohésion comme un drame mal construit. Ceux qui posent les Idées échappent à cette difficulté, parce qu’ils construisent les grandeurs spatiales à partir de matière et d’un nombre: 2 dans le cas des lignes, 3, vraisemblablement, dans celui des plans, et 4 dans celui des solides; ou à partir d’autres nombres, car cela ne fait aucune différence. Mais faut-il considérer ces grandeurs comme des Idées, ou quel est leur mode d’existence? Et qu’apportent-elles à la réalité? Elles n’apportent rien, tout comme les objets mathématiques n’apportent rien. De plus, aucun théorème mathématique ne s’applique à elles, à moins que l’on ne choisisse de bouleverser les principes des mathématiques et d’inventer des théories particulières. Mais il n’est pas difficile de prendre n’importe quelles hypothèses arbitraires, de les développer et d’en tirer une longue suite de conclusions. Ces penseurs se trompent donc complètement en s’efforçant ainsi de rattacher les objets mathématiques aux Idées. Mais ceux qui ont les premiers reconnu deux espèces de nombres, l’idéal et aussi le mathématique, n’ont ni expliqué ni ne peuvent expliquer d’aucune manière comment le nombre mathématique existera et de quoi il sera composé; car ils le placent comme intermédiaire entre le nombre idéal et le nombre sensible. S’il est composé du Grand et du Petit, il sera identique au premier, c’est-à-dire au nombre idéal. Mais de quel autre Grand et Petit peut-il être composé? Car Platon construit les grandeurs spatiales à partir d’un Grand et d’un Petit. Et s’il parle de quelque autre composant, il soutiendra qu’il y a trop d’éléments; tandis que, si une certaine chose est le premier principe de chaque espèce de nombre, l’unité sera quelque chose de commun à ces diverses espèces. Il faut examiner comment l’unité peut être cette multiplicité de choses, alors que, selon lui, le nombre ne peut en même temps dériver autrement que de l’unité et d’une dyade indéterminée. Toutes ces conceptions sont irrationnelles; elles se contredisent entre elles et s’opposent à la saine logique, et il semble qu’elles nous offrent un exemple de la longue histoire de Simonide; car les hommes ont recours à la longue histoire, comme celles que racontent les esclaves, lorsqu’ils n’ont rien de satisfaisant à dire. Les éléments eux-mêmes, le Grand et le Petit, semblent protester contre le fait d’être entraînés de force dans cette affaire; car ils ne peuvent engendrer d’autres nombres que les puissances croissantes de 2. Il est également absurde, ou plutôt c’est l’une des impossibilités de cette théorie, d’introduire la génération de choses éternelles. Il n’y a pas lieu de se demander si les Pythagoriciens l’introduisent ou non; car ils déclarent clairement que, une fois l’Un constitué, que ce soit à partir de plans, de surfaces, de semence ou de quelque chose qu’ils sont incapables d’expliquer, la partie la plus proche de l’Infini commença immédiatement à être attirée et limitée par la Limite. Toutefois, puisqu’ils expliquent ici la construction de l’univers et entendent parler en termes physiques, bien que nous puissions critiquer dans une certaine mesure leurs théories physiques, il est juste de les soustraire à la présente recherche; car nous examinons les premiers principes des choses immuables, et c’est pourquoi nous devons considérer la génération des nombres de cette espèce.