Geometry and Experience, French Translation Section section-0001

De toutes les sciences la mathématique jouit d’un prestige particulier pour la raison suivante : ses propositions sont d’une certitude absolue et à l’abri de toute contestation, tandis que celles des autres sciences sont jusqu’à un certain point sujettes à discussion et toujours susceptibles d’être renversées par la découverte de faits nouveaux. Malgré cela, le chercheur dans un autre domaine ne devrait pas encore envier le mathématicien, lorsque ses propositions ne se rapportent pas aux objets de la réalité, mais à ceux de notre simple imagination. Car il ne faut pas s’étonner d’arriver à des conclusions logiques concordantes, dès qu’on s’est mis d’accord sur les propositions fondamentales (axiomes), ainsi que sur les méthodes au moyen desquelles d’autres propositions doivent être déduites de ces propositions fondamentales. Mais ce grand prestige de la mathématique repose d’autre part sur le fait que c’est elle qui confère aux sciences exactes un certain degré de certitude qu’elles ne pourraient pas atteindre autrement. Ici surgit une énigme qui a fortement troublé les chercheurs de tous les temps. Comment est-il possible que la mathématique, qui est un produit de la pensée humaine et indépendante de toute expérience, puisse s’adapter d’une si admirable manière aux objets de la réalité ? La raison humaine serait-elle donc capable, sans avoir recours à l’expérience, de découvrir par la pensée seule les propriétés des objets réels ? À cette question il faut, d’après mon avis, répondre de la façon suivante : Pour autant que les propositions de la mathématique se rapportent à la réalité, elles ne sont pas certaines, et pour autant qu’elles sont certaines, elles ne se rapportent pas à la réalité. La parfaite clarté sur ce sujet n’a pu devenir bien commun que grâce à cette tendance en mathématique, qui est connue sous le nom d’ axiomatique . Le progrès réalisé par l’axiomatique consiste en ceci qu’elle sépara soigneusement la partie logique et formelle du contenu objectif ou intuitif. D’après l’axiomatique, la partie logique et formelle constitue seule l’objet de la mathématique, mais non pas le contenu intuitif ou autre qu’on lui ajoute.

Of all the sciences, mathematics enjoys a special prestige for the following reason: its propositions are absolutely certain and beyond all dispute, whereas those of the other sciences are, to some extent, open to discussion and always liable to be overturned by the discovery of new facts. In spite of this, the researcher in another field should not yet envy the mathematician when the latter's propositions concern not objects of reality, but those of our mere imagination. For it is not surprising that we should arrive at consistent logical conclusions once we have agreed upon the fundamental propositions (axioms), as well as upon the methods by which other propositions are to be deduced from these fundamental propositions. Yet the great prestige of mathematics rests, on the other hand, upon the fact that it is mathematics that gives the exact sciences a degree of certainty which they could not otherwise attain. Here an enigma arises that has deeply troubled researchers throughout the ages. How is it possible that mathematics, which is a product of human thought and independent of all experience, should fit the objects of reality in so admirable a way? Is human reason, then, capable of discovering the properties of real objects by thought alone, without recourse to experience? In my opinion, this question must be answered as follows: insofar as the propositions of mathematics relate to reality, they are not certain; and insofar as they are certain, they do not relate to reality. Complete clarity on this subject could become common knowledge only through that tendency in mathematics known as axiomatics. The advance achieved by axiomatics consists in its careful separation of the logical and formal part from the objective or intuitive content. According to axiomatics, only the logical and formal part constitutes the subject matter of mathematics, not the intuitive or other content added to it.