The Principle of Relativity: Selected Papers by Einstein Section section-0009

We have now to show, that every ray of light moves in the moving system with a velocity c (when measured in the moving system), in case, as we have actually assumed, c is also the velocity in the stationary system; for we have not as yet adduced any proof in support of the assumption that the principle of relativity is reconcilable with the principle of constant light-velocity. At a time τ = t = 0 let a spherical wave be sent out from the common origin of the two systems of co-ordinates, and let it spread with a velocity c in the system K. If ( x , y , z ), be a point reached by the wave, we have with the aid of our transformation-equations, let us transform this equation, and we obtain by a simple calculation, Therefore the wave is propagated in the moving system with the same velocity c , and as a spherical wave. [7] Therefore we show that the two principles are mutually reconcilable. In the transformations we have got an undetermined function φ( v ), and we now proceed to find it out. Let us introduce for this purpose a third co-ordinate system k′ , which is set in motion relative to the system k , the motion being parallel to the ξ-axis. Let the velocity of the origin be (- v ). At the time t = 0, all the initial co-ordinate points coincide, and for t = x = y = z = 0, the time t′ of the system k′ = 0. We shall say that ( x′ y′ z′ t′ ) are the co-ordinates measured in the system k′ , then by a two-fold application of the transformation-equations, we obtain Since the relations between ( x′ , y′ , z′ , t′ ), and ( x , y , z , t ) do not contain time explicitly, therefore K and k′ are relatively at rest. It appears that the systems K and k′ are identical. Let us now turn our attention to the part of the ξ-axis between (ξ = 0, η = 0, ζ = 0), and (ξ = 0, η = 1, ζ = 0). Let this piece of the y -axis be covered with a rod moving with the velocity v relative to the system K and perpendicular to its axis; - the ends of the rod having therefore the co-ordinates Therefore the length of the rod measured in the system K is l /φ( v ). For the system moving with velocity (- v ), we have on grounds of symmetry,

Nous devons maintenant montrer que tout rayon lumineux se déplace dans le système en mouvement avec une vitesse c, lorsqu’elle est mesurée dans ce système, dans le cas où, comme nous l’avons effectivement supposé, c est aussi la vitesse dans le système stationnaire; car nous n’avons encore apporté aucune preuve à l’appui de l’hypothèse selon laquelle le principe de relativité est conciliable avec le principe de constance de la vitesse de la lumière. Au temps τ = t = 0, qu’une onde sphérique soit émise depuis l’origine commune des deux systèmes de coordonnées et qu’elle se propage avec la vitesse c dans le système K. Si (x, y, z) est un point atteint par l’onde, nous avons À l’aide de nos équations de transformation, transformons cette équation; un calcul simple nous donne Par conséquent, l’onde se propage dans le système en mouvement avec la même vitesse c et sous la forme d’une onde sphérique. [7] Nous montrons donc que les deux principes sont mutuellement conciliables. Dans les transformations, nous avons obtenu une fonction indéterminée φ(v), que nous allons maintenant déterminer. Introduisons à cette fin un troisième système de coordonnées k′, mis en mouvement par rapport au système k, ce mouvement étant parallèle à l’axe ξ. Que la vitesse de l’origine soit (-v). Au temps t = 0, tous les points d’origine des coordonnées coïncident et, pour t = x = y = z = 0, le temps t′ du système k′ = 0. Nous dirons que (x′ y′ z′ t′) sont les coordonnées mesurées dans le système k′; par une double application des équations de transformation, nous obtenons Puisque les relations entre (x′, y′, z′, t′) et (x, y, z, t) ne contiennent pas explicitement le temps, K et k′ sont donc relativement au repos. Il apparaît que les systèmes K et k′ sont identiques. Portons maintenant notre attention sur la partie de l’axe ξ comprise entre (ξ = 0, η = 0, ζ = 0) et (ξ = 0, η = 1, ζ = 0). Que ce segment de l’axe y soit couvert par une tige se déplaçant à la vitesse v par rapport au système K et perpendiculairement à son axe; les extrémités de la tige ont donc les coordonnées Par conséquent, la longueur de la tige mesurée dans le système K est l/φ(v). Pour le système se déplaçant avec la vitesse (-v), nous avons, pour des raisons de symétrie,