The Principle of Relativity: Selected Papers by Einstein Section section-0030

From the considerations in § 2 and § 3 it is clear, that from the physical stand-point the quantities g στ are to be looked upon as magnitudes which describe the gravitation-field with reference to the chosen system of axes. We assume firstly, that in a certain four-dimensional region considered, the special relativity theory is true for some particular choice of co-ordinates. The g στ ’s then have the values given in (4). A free material point moves with reference to such a system uniformly in a straight-line. If we now introduce, by any substitution, the space-time co-ordinates x₁ ... x₄ then in the new system g μν ’s are no longer constants, but functions of space and time. At the same time, the motion of a free point-mass in the new co-ordinates, will appear as curvilinear, and not uniform, in which the law of motion, will be independent of the nature of the moving mass-points . We can thus signify this motion as one under the influence of a gravitation field. We see that the appearance of a gravitation-field is connected with space-time variability of g στ ’s. In the general case, we can not by any suitable choice of axes, make special relativity theory valid throughout any finite region. We thus deduce the conception that g στ ’s describe the gravitational field. According to the general relativity theory, gravitation thus plays an exceptional rôle as distinguished from the others, specially the electromagnetic forces, in as much as the 10 functions g στ representing gravitation, define immediately the metrical properties of the four-dimensional region. B Mathematical Auxiliaries for Establishing the General Covariant Equations. We have seen before that the general relativity-postulate leads to the condition that the system of equations for Physics, must be co-variants for any possible substitution of co-ordinates x₁ , ... x₄ ; we have now to see how such general co-variant equations can be obtained. We shall now turn our attention to these purely mathematical propositions. It will be shown that in the solution, the invariant ds , given in equation (3) plays a fundamental rôle, which we, following Gauss’s Theory of Surfaces, style as the line-element.

Il ressort clairement des considérations des § 2 et § 3 que, du point de vue physique, les quantités g στ doivent être considérées comme des grandeurs décrivant le champ gravitationnel par rapport au système d’axes choisi. Nous supposons d’abord que, dans une certaine région quadridimensionnelle considérée, la théorie de la relativité restreinte est vraie pour un choix particulier de coordonnées. Les g στ ont alors les valeurs données en (4). Un point matériel libre se déplace par rapport à un tel système uniformément et en ligne droite. Si nous introduisons maintenant, par une substitution quelconque, les coordonnées spatio-temporelles x₁ ... x₄, alors, dans le nouveau système, les g μν ne sont plus des constantes, mais des fonctions de l’espace et du temps. En même temps, le mouvement d’une masse ponctuelle libre dans les nouvelles coordonnées apparaîtra comme curviligne et non uniforme, la loi du mouvement étant indépendante de la nature des points matériels en mouvement. Nous pouvons ainsi qualifier ce mouvement de mouvement soumis à l’influence d’un champ gravitationnel. Nous voyons que l’apparition d’un champ gravitationnel est liée à la variabilité spatio-temporelle des g στ. Dans le cas général, nous ne pouvons, par aucun choix approprié des axes, rendre valable la théorie de la relativité restreinte dans toute une région finie. Nous en déduisons donc la conception selon laquelle les g στ décrivent le champ gravitationnel. Selon la théorie de la relativité générale, la gravitation joue ainsi un rôle exceptionnel par rapport aux autres forces, notamment les forces électromagnétiques, dans la mesure où les 10 fonctions g στ qui représentent la gravitation définissent immédiatement les propriétés métriques de la région quadridimensionnelle. B. Auxiliaires mathématiques pour l’établissement des équations covariantes générales. Nous avons vu précédemment que le postulat de relativité générale conduit à la condition que le système d’équations de la physique soit covariant pour toute substitution possible des coordonnées x₁, ... x₄; nous devons maintenant voir comment obtenir de telles équations covariantes générales. Nous allons porter notre attention sur ces propositions purement mathématiques. Il sera montré que, dans la solution, l’invariant ds donné par l’équation (3) joue un rôle fondamental; suivant la théorie des surfaces de Gauss, nous le désignons sous le nom d’élément linéaire.