The Principle of Relativity: Selected Papers by Einstein Section section-0036

dx μ plays the rôle of any arbitrarily chosen contravariant vector, since further g μν = g νμ , it follows from the considerations of the last paragraph that g μν is a symmetrical co-variant tensor of the second rank. We call it the “fundamental tensor.” Afterwards we shall deduce some properties of this tensor, which will also be true for any tensor of the second rank. But the special rôle of the fundamental tensor in our Theory, which has its physical basis on the particularly exceptional character of gravitation makes it clear that those relations are to be developed which will be required only in the case of the fundamental tensor. If we form from the determinant scheme | g μν | the minors of g μν and divide them by the determinant g = | g μν | we get certain quantities g μν = g νμ , which as we shall prove generates a contravariant tensor. According to the well-known law of Determinants where δ μ ν is 1, or 0, according as μ = ν or not. Instead of the above expression for ds² , we can also write Now according to the rules of multiplication, of the fore-going paragraph, the magnitudes forms a co-variant four-vector, and in fact (on account of the arbitrary choice of dx μ ) any arbitrary four-vector. If we introduce it in our expression, we get For any choice of the vectors d ξ σ d ξ τ this is scalar, and g στ , according to its definition is a symmetrical thing in σ and τ, so it follows from the above results, that g στ is a contravariant tensor. Out of (16) it also follows that δ ν μ is a tensor which we may call the mixed fundamental tensor. According to the law of multiplication of determinants, we have So that it follows (17) that | g μν | | g μν | = 1. We see first the transformation law for the determinant g = | g μν |. According to (11) From this by applying the law of multiplication twice, we obtain On the other hand the law of transformation of the volume element is according to the wellknown law of Jacobi. by multiplication of the two last equations (A) and (B) we get

dx μ joue le rôle d’un vecteur contravariant choisi arbitrairement ; puisque, en outre, g μν = g νμ, il découle des considérations du dernier paragraphe que g μν est un tenseur covariant symétrique du deuxième rang. Nous l’appelons le « tenseur fondamental ». Nous déduirons plus loin certaines propriétés de ce tenseur, qui seront également vraies pour tout tenseur du deuxième rang. Mais le rôle particulier du tenseur fondamental dans notre théorie, dont la base physique tient au caractère tout à fait exceptionnel de la gravitation, montre clairement qu’il convient de développer les relations qui ne seront requises que dans le cas du tenseur fondamental. Si, dans le déterminant |g μν|, nous formons les mineurs de g μν et les divisons par le déterminant g = |g μν|, nous obtenons certaines quantités g μν = g νμ qui, comme nous le démontrerons, engendrent un tenseur contravariant. D’après la loi bien connue des déterminants, où δ μ ν vaut 1 ou 0 selon que μ = ν ou non. Au lieu de l’expression ci-dessus pour ds², nous pouvons aussi écrire. Or, d’après les règles de multiplication du paragraphe précédent, les grandeurs forment un quadrivecteur covariant, et même, en raison du choix arbitraire de dx μ, un quadrivecteur arbitraire. Si nous l’introduisons dans notre expression, nous obtenons. Pour tout choix des vecteurs d ξ σ d ξ τ, ceci est un scalaire, et g στ est, par définition, une entité symétrique en σ et τ ; il résulte donc des résultats précédents que g στ est un tenseur contravariant. Il découle aussi de (16) que δ ν μ est un tenseur que nous pouvons appeler le tenseur fondamental mixte. D’après la loi de multiplication des déterminants, nous avons. Il résulte donc de (17) que |g μν| |g μν| = 1. Examinons d’abord la loi de transformation du déterminant g = |g μν|. D’après (11). En appliquant deux fois la loi de multiplication, nous en obtenons. D’autre part, la loi de transformation de l’élément de volume est, d’après la loi bien connue de Jacobi. En multipliant les deux dernières équations (A) et (B), nous obtenons