The Principle of Relativity: Selected Papers by Einstein Section section-0040

If for example, A μ is a four-vector whose components are any given functions of x ν , we have, (with reference to the chosen co-ordinate system) only to put in order to arrive at the result that S μ is equal to A μ . In order to prove then that A μν is a tensor when on the right side of (26) we substitute any co-variant four-vector for A μ we have only to show that this is true for the four-vector S μ . For this latter case, however, a glance on the right hand side of (26) will show that we have only to bring forth the proof for the case when Now the right hand side of (25) multiplied by ψ is which has a tensor character. Similarly, (∂φ/∂ x μ ) (∂φ/∂ x ν ) is also a tensor (outer product of two four-vectors). Through addition follows the tensor character of Thus we get the desired proof for the four-vector, ψ ∂φ/∂ x μ and hence for any four-vectors A μ as shown above. With the help of the extension of the four-vector, we can easily define “extension” of a co-variant tensor of any rank. This is a generalisation of the extension of the four-vector. We confine ourselves to the case of the extension of the tensors of the 2nd rank for which the law of formation can be clearly seen. As already remarked every co-variant tensor of the 2nd rank can be represented as a sum of the tensors of the type A μ B ν . It would therefore be sufficient to deduce the expression of extension, for one such special tensor. According to (26) we have the expressions are tensors. Through outer multiplication of the first with B ν and the 2nd with A μ we get tensors of the third rank. Their addition gives the tensor of the third rank

Si, par exemple, A μ est un quadrivecteur dont les composantes sont des fonctions quelconques données de x ν, il nous suffit, relativement au système de coordonnées choisi, de poser afin d’obtenir que S μ soit égal à A μ. Pour démontrer alors que A μν est un tenseur lorsque, dans le membre de droite de (26), nous substituons à A μ un quadrivecteur covariant quelconque, il nous suffit de montrer que cela est vrai pour le quadrivecteur S μ. Dans ce dernier cas, toutefois, un regard sur le membre de droite de (26) montrera que nous n’avons à établir la preuve que dans le cas où. Or le membre de droite de (25), multiplié par ψ, est, et possède un caractère tensoriel. De même, (∂φ/∂x μ) (∂φ/∂x ν) est aussi un tenseur (produit extérieur de deux quadrivecteurs). Par addition, il résulte le caractère tensoriel de. Nous obtenons ainsi la démonstration désirée pour le quadrivecteur ψ ∂φ/∂x μ et, par conséquent, pour tout quadrivecteur A μ, comme il a été montré ci-dessus. À l’aide de l’extension du quadrivecteur, nous pouvons aisément définir l’« extension » d’un tenseur covariant de rang quelconque. Il s’agit d’une généralisation de l’extension du quadrivecteur. Nous nous limitons au cas de l’extension des tenseurs du deuxième rang, pour lequel la loi de formation apparaît clairement. Comme nous l’avons déjà remarqué, tout tenseur covariant du deuxième rang peut être représenté comme une somme de tenseurs du type A μ B ν. Il suffirait donc de déduire l’expression de l’extension pour un tenseur particulier de cette sorte. D’après (26), nous avons ; les expressions sont des tenseurs. Par multiplication extérieure de la première par B ν et de la seconde par A μ, nous obtenons des tenseurs du troisième rang. Leur addition donne le tenseur du troisième rang