The Principle of Relativity: Selected Papers by Einstein Section section-0051

If g μν ’s are unknown we have also to take the equations (53). There are now 11 equations for finding out 10 functions g , so that the number is more than sufficient. Now it is be noticed that the equation (57a) is already contained in (53), so that the latter only represents (7) independent equations. This indefiniteness is due to the wide freedom in the choice of co-ordinates, so that mathematically the problem is indefinite in the sense that three of the space-functions can be arbitrarily chosen. §20. Maxwell’s Electro-Magnetic field-equations. Let φ ν be the components of a covariant four-vector, the electro-magnetic potential; from it let us form according to (36) the components F ρσ of the covariant six-vector of the electro-magnetic field according to the system of equations From (59), it follows that the system of equations is satisfied of which the left-hand side, according to (37), is an anti-symmetrical tensor of the third kind. This system (60) contains essentially four equations, which can be thus written: - This system of equations corresponds to the second system of equations of Maxwell. We see it at once if we put Instead of (60a) we can therefore write according to the usual notation of three-dimensional vector-analysis: - The first Maxwellian system is obtained by a generalisation of the form given by Minkowski. We introduce the contra-variant six-vector F αβ by the equation and also a contra-variant four-vector J μ , which is the electrical current-density in vacuum. Then remembering (40) we can establish the system of equations, which remains invariant for any substitution with determinant 1 (according to our choice of co-ordinates). which quantities become equal to H x ... E x in the case of the special relativity theory, and besides The equations (60), (62) and (63) give thus a generalisation of Maxwell’s field-equations in vacuum, which remains true in our chosen system of co-ordinates. The energy-components of the electro-magnetic field. According to (61) its components can be written down in the three-dimensional notation.

Si les g μν sont inconnus, nous devons également prendre les équations (53). Il y a alors 11 équations pour déterminer 10 fonctions g, de sorte que leur nombre est plus que suffisant. Il faut cependant remarquer que l’équation (57a) est déjà contenue dans (53), de sorte que cette dernière ne représente que (7) équations indépendantes. Cette indétermination est due à la grande liberté du choix des coordonnées, si bien que, mathématiquement, le problème est indéterminé en ce sens que trois des fonctions spatiales peuvent être choisies arbitrairement. § 20. Équations du champ électromagnétique de Maxwell. Soient φ ν les composantes d’un quadrivecteur covariant, le potentiel électromagnétique ; formons à partir de celui-ci, conformément à (36), les composantes F ρσ du sextivecteur covariant du champ électromagnétique suivant le système d’équations. Il résulte de (59) que le système d’équations est satisfait, système dont le membre de gauche est, conformément à (37), un tenseur antisymétrique de troisième espèce. Ce système (60) contient essentiellement quatre équations, qui peuvent s’écrire ainsi : Ce système d’équations correspond au second système d’équations de Maxwell. Nous le voyons immédiatement si nous posons. À la place de (60a), nous pouvons donc écrire, suivant la notation usuelle de l’analyse vectorielle tridimensionnelle : Le premier système maxwellien s’obtient par une généralisation de la forme donnée par Minkowski. Nous introduisons le sextivecteur contravariant F αβ par l’équation, ainsi qu’un quadrivecteur contravariant J μ, qui est la densité de courant électrique dans le vide. Alors, compte tenu de (40), nous pouvons établir le système d’équations qui demeure invariant pour toute substitution de déterminant 1, conformément à notre choix de coordonnées. Ces quantités deviennent égales à H x ... E x dans le cas de la théorie de la relativité restreinte, et en outre. Les équations (60), (62) et (63) donnent ainsi une généralisation des équations du champ de Maxwell dans le vide, qui demeure valable dans le système de coordonnées que nous avons choisi. Les composantes énergétiques du champ électromagnétique. D’après (61), ses composantes peuvent être écrites dans la notation tridimensionnelle.