Relativity: The Special and General Theory, English Translation Section section-0004

It is not difficult to understand why, in spite of this, we feel constrained to call the propositions of geometry “true.” Geometrical ideas correspond to more or less exact objects in nature, and these last are undoubtedly the exclusive cause of the genesis of those ideas. Geometry ought to refrain from such a course, in order to give to its structure the largest possible logical unity. The practice, for example, of seeing in a “distance” two marked positions on a practically rigid body is something which is lodged deeply in our habit of thought. We are accustomed further to regard three points as being situated on a straight line, if their apparent positions can be made to coincide for observation with one eye, under suitable choice of our place of observation. If, in pursuance of our habit of thought, we now supplement the propositions of Euclidean geometry by the single proposition that two points on a practically rigid body always correspond to the same distance (line-interval), independently of any changes in position to which we may subject the body, the propositions of Euclidean geometry then resolve themselves into propositions on the possible relative position of practically rigid bodies. [1] Geometry which has been supplemented in this way is then to be treated as a branch of physics. We can now legitimately ask as to the “truth” of geometrical propositions interpreted in this way, since we are justified in asking whether these propositions are satisfied for those real things we have associated with the geometrical ideas. In less exact terms we can express this by saying that by the “truth” of a geometrical proposition in this sense we understand its validity for a construction with rule and compasses. [1] It follows that a natural object is associated also with a straight line. Three points A, B and C on a rigid body thus lie in a straight line when the points A and C being given, B is chosen such that the sum of the distances AB and BC is as short as possible. This incomplete suggestion will suffice for the present purpose.

Il n’est pas difficile de comprendre pourquoi, malgré cela, nous nous sentons contraints de qualifier de « vraies » les propositions de la géométrie. Les idées géométriques correspondent à des objets plus ou moins exacts de la nature, et ces derniers sont sans aucun doute la cause exclusive de la genèse de ces idées. La géométrie doit s’abstenir d’un tel procédé afin de conférer à sa structure la plus grande unité logique possible. L’habitude de voir, par exemple, dans une « distance » deux positions marquées sur un corps pratiquement rigide est profondément enracinée dans notre manière de penser. Nous avons également coutume de considérer trois points comme situés sur une ligne droite lorsque, par un choix approprié de notre position d’observation, leurs positions apparentes peuvent être amenées à coïncider lors d’une observation faite d’un seul œil. Si, conformément à notre habitude de pensée, nous complétons maintenant les propositions de la géométrie euclidienne par cette unique proposition selon laquelle deux points d’un corps pratiquement rigide correspondent toujours à la même distance (intervalle linéaire), indépendamment de tout changement de position auquel nous pouvons soumettre le corps, les propositions de la géométrie euclidienne se transforment alors en propositions relatives aux positions mutuelles possibles de corps pratiquement rigides. [1] La géométrie ainsi complétée doit dès lors être traitée comme une branche de la physique. Nous pouvons maintenant nous interroger légitimement sur la « vérité » des propositions géométriques ainsi interprétées, puisque nous sommes fondés à demander si ces propositions sont satisfaites par les choses réelles que nous avons associées aux idées géométriques. En termes moins exacts, nous pouvons dire que, par la « vérité » d’une proposition géométrique en ce sens, nous entendons sa validité pour une construction à la règle et au compas.

[1] Il s’ensuit qu’un objet naturel est également associé à une ligne droite. Trois points A, B et C d’un corps rigide se trouvent ainsi sur une ligne droite lorsque, A et C étant donnés, B est choisi de telle sorte que la somme des distances AB et BC soit aussi courte que possible. Cette indication incomplète suffira au présent propos.