Relativity: The Special and General Theory, English Translation Section section-0042

XVII. MINKOWSKI’S FOUR-DIMENSIONAL SPACE The non-mathematician is seized by a mysterious shuddering when he hears of “four-dimensional” things, by a feeling not unlike that awakened by thoughts of the occult. And yet there is no more common-place statement than that the world in which we live is a four-dimensional space-time continuum. Space is a three-dimensional continuum. By this we mean that it is possible to describe the position of a point (at rest) by means of three numbers (co-ordinates) x, y, z , and that there is an indefinite number of points in the neighbourhood of this one, the position of which can be described by co-ordinates such as x 1 , y 1 , z 1 , which may be as near as we choose to the respective values of the co-ordinates x, y, z , of the first point. In virtue of the latter property we speak of a “continuum,” and owing to the fact that there are three co-ordinates we speak of it as being “three-dimensional.” Similarly, the world of physical phenomena which was briefly called “world” by Minkowski is naturally four dimensional in the space-time sense. For it is composed of individual events, each of which is described by four numbers, namely, three space co-ordinates x, y, z , and a time co-ordinate, the time value t . The “world” is in this sense also a continuum; for to every event there are as many “neighbouring” events (realised or at least thinkable) as we care to choose, the co-ordinates x 1 , y 1 , z 1 , t 1 of which differ by an indefinitely small amount from those of the event x, y, z, t originally considered. That we have not been accustomed to regard the world in this sense as a four-dimensional continuum is due to the fact that in physics, before the advent of the theory of relativity, time played a different and more independent rôle, as compared with the space coordinates. It is for this reason that we have been in the habit of treating time as an independent continuum. As a matter of fact, according to classical mechanics, time is absolute, i.e. it is independent of the position and the condition of motion of the system of co-ordinates. We see this expressed in the last equation of the Galileian transformation ( t′ = t ).

XVII. L’ESPACE À QUATRE DIMENSIONS DE MINKOWSKI Le non-mathématicien est saisi d’un mystérieux frisson lorsqu’il entend parler de choses « à quatre dimensions », sentiment qui n’est pas sans ressembler à celui qu’éveillent les pensées relatives à l’occulte. Et pourtant, rien n’est plus banal que d’affirmer que le monde dans lequel nous vivons est un continuum espace-temps à quatre dimensions. L’espace est un continuum à trois dimensions. Nous entendons par là qu’il est possible de décrire la position d’un point (au repos) au moyen de trois nombres (coordonnées) x, y, z, et qu’il existe un nombre indéfini de points dans le voisinage de celui-ci, dont la position peut être décrite par des coordonnées telles que x₁, y₁, z₁, qui peuvent être aussi proches que nous le voulons des valeurs respectives des coordonnées x, y, z du premier point. C’est en vertu de cette dernière propriété que nous parlons d’un « continuum » et, parce qu’il y a trois coordonnées, que nous le qualifions de « tridimensionnel ». De même, le monde des phénomènes physiques, que Minkowski appelait brièvement le « monde », est naturellement quadridimensionnel au sens spatio-temporel. Il se compose en effet d’événements individuels, chacun décrit par quatre nombres, à savoir trois coordonnées spatiales x, y, z et une coordonnée temporelle, la valeur temporelle t. Le « monde » est également, en ce sens, un continuum ; car, pour chaque événement, il existe autant d’événements « voisins » (réalisés ou du moins concevables) que nous voulons en choisir, dont les coordonnées x₁, y₁, z₁, t₁ diffèrent d’une quantité indéfiniment petite de celles de l’événement x, y, z, t considéré à l’origine. Si nous n’avons pas eu l’habitude de considérer le monde en ce sens comme un continuum à quatre dimensions, c’est parce qu’en physique, avant l’avènement de la théorie de la relativité, le temps jouait un rôle différent et plus indépendant que les coordonnées spatiales. C’est pour cette raison que nous avions coutume de traiter le temps comme un continuum indépendant. De fait, selon la mécanique classique, le temps est absolu, c’est-à-dire qu’il est indépendant de la position et de l’état de mouvement du système de coordonnées. Nous le voyons exprimé dans la dernière équation de la transformation de Galilée (t′ = t).