Relativity: The Special and General Theory, English Translation Section section-0065

Moreover, at this stage the definition of the space co-ordinates also presents insurmountable difficulties. If the observer applies his standard measuring-rod (a rod which is short as compared with the radius of the disc) tangentially to the edge of the disc, then, as judged from the Galileian system, the length of this rod will be less than 1, since, according to Section XII, moving bodies suffer a shortening in the direction of the motion. On the other hand, the measuring-rod will not experience a shortening in length, as judged from K , if it is applied to the disc in the direction of the radius. If, then, the observer first measures the circumference of the disc with his measuring-rod and then the diameter of the disc, on dividing the one by the other, he will not obtain as quotient the familiar number π = 3.14 . . ., but a larger number, [19] whereas of course, for a disc which is at rest with respect to K , this operation would yield π exactly. This proves that the propositions of Euclidean geometry cannot hold exactly on the rotating disc, nor in general in a gravitational field, at least if we attribute the length 1 to the rod in all positions and in every orientation. Hence the idea of a straight line also loses its meaning. We are therefore not in a position to define exactly the co-ordinates x, y, z relative to the disc by means of the method used in discussing the special theory, and as long as the co-ordinates and times of events have not been defined, we cannot assign an exact meaning to the natural laws in which these occur. [19] Throughout this consideration we have to use the Galileian (non-rotating) system K as reference-body, since we may only assume the validity of the results of the special theory of relativity relative to K (relative to K′ a gravitational field prevails). Thus all our previous conclusions based on general relativity would appear to be called in question. In reality we must make a subtle detour in order to be able to apply the postulate of general relativity exactly. I shall prepare the reader for this in the following paragraphs.

En outre, à ce stade, la définition des coordonnées spatiales présente elle aussi des difficultés insurmontables. Si l’observateur applique sa règle de mesure étalon (une règle courte par rapport au rayon du disque) tangentiellement au bord du disque, alors, à en juger depuis le système galiléen, la longueur de cette règle sera inférieure à 1 puisque, selon la section XII, les corps en mouvement subissent un raccourcissement dans la direction du mouvement. En revanche, à en juger depuis K, la règle de mesure ne subira aucun raccourcissement si elle est appliquée au disque dans la direction du rayon. Si donc l’observateur mesure d’abord la circonférence du disque à l’aide de sa règle, puis son diamètre, il n’obtiendra pas, en divisant la première par le second, le nombre familier π = 3,14..., mais un nombre plus grand, [19] tandis que, bien entendu, cette opération donnerait exactement π pour un disque au repos par rapport à K. Cela prouve que les propositions de la géométrie euclidienne ne peuvent être exactement valables sur le disque en rotation, ni, d’une manière générale, dans un champ gravitationnel, du moins si nous attribuons la longueur 1 à la règle dans toutes les positions et toutes les orientations. Dès lors, l’idée de ligne droite perd elle aussi sa signification. Nous ne sommes donc pas en mesure de définir exactement les coordonnées x, y, z par rapport au disque au moyen de la méthode employée dans l’exposé de la théorie restreinte et, tant que les coordonnées et les temps des événements n’ont pas été définis, nous ne pouvons attribuer un sens exact aux lois naturelles dans lesquelles ils interviennent. [19] Tout au long de cette considération, nous devons employer le système galiléen (non rotatif) K comme corps de référence, puisque nous ne pouvons supposer la validité des résultats de la théorie restreinte de la relativité que par rapport à K (un champ gravitationnel règne par rapport à K′). Toutes nos conclusions antérieures fondées sur la relativité générale sembleraient donc être remises en question. En réalité, nous devons faire un détour subtil pour pouvoir appliquer exactement le postulat de la relativité générale. J’y préparerai le lecteur dans les paragraphes suivants.