Relativity: The Special and General Theory, English Translation Section section-0086

XXXI. THE POSSIBILITY OF A “FINITE” AND YET “UNBOUNDED” UNIVERSE But speculations on the structure of the universe also move in quite another direction. The development of non-Euclidean geometry led to the recognition of the fact, that we can cast doubt on the infiniteness of our space without coming into conflict with the laws of thought or with experience (Riemann, Helmholtz). These questions have already been treated in detail and with unsurpassable lucidity by Helmholtz and Poincaré, whereas I can only touch on them briefly here. In the first place, we imagine an existence in two dimensional space. Flat beings with flat implements, and in particular flat rigid measuring-rods, are free to move in a plane . For them nothing exists outside of this plane: that which they observe to happen to themselves and to their flat “things” is the all-inclusive reality of their plane. In particular, the constructions of plane Euclidean geometry can be carried out by means of the rods e.g. the lattice construction, considered in Section XXIV. In contrast to ours, the universe of these beings is two-dimensional; but, like ours, it extends to infinity. In their universe there is room for an infinite number of identical squares made up of rods, i.e. its volume (surface) is infinite. If these beings say their universe is “plane,” there is sense in the statement, because they mean that they can perform the constructions of plane Euclidean geometry with their rods. In this connection the individual rods always represent the same distance, independently of their position.

XXXI. LA POSSIBILITÉ D’UN UNIVERS « FINI » ET POURTANT « SANS BORNES » Mais les spéculations sur la structure de l’univers s’orientent aussi dans une tout autre direction. Le développement de la géométrie non euclidienne a conduit à reconnaître que nous pouvons mettre en doute l’infinité de notre espace sans entrer en conflit avec les lois de la pensée ni avec l’expérience (Riemann, Helmholtz). Ces questions ont déjà été traitées en détail, avec une clarté insurpassable, par Helmholtz et Poincaré, tandis que je ne peux ici que les effleurer. Imaginons d’abord une existence dans un espace à deux dimensions. Des êtres plats, munis d’instruments plats et notamment de règles de mesure rigides et plates, peuvent se mouvoir librement dans un plan. Pour eux, rien n’existe en dehors de ce plan. Ce qu’ils observent comme arrivant à eux-mêmes et à leurs « choses » plates constitue toute la réalité de leur plan. En particulier, les constructions de la géométrie euclidienne plane peuvent être réalisées au moyen des baguettes, par exemple la construction en réseau considérée à la section XXIV. Contrairement au nôtre, l’univers de ces êtres est bidimensionnel, mais, comme le nôtre, il s’étend à l’infini. Leur univers peut contenir un nombre infini de carrés identiques formés de baguettes, c’est-à-dire que son volume (sa surface) est infini. Si ces êtres disent que leur univers est « plan », cet énoncé a un sens, car ils veulent dire qu’ils peuvent réaliser avec leurs baguettes les constructions de la géométrie euclidienne plane. Dans ce contexte, chaque baguette représente toujours la même distance, indépendamment de sa position.