The Principle of Relativity: Selected Papers by Einstein Section section-0032

As in the above equation B σ′ are independent of one another and perfectly arbitrary, it follows that the transformation law is: - Remarks on the simplification of the mode of writing the expressions. A glance at the equations of this paragraph will show that the indices which appear twice within the sign of summation [for example ν in (5)] are those over which the summation is to be made and that only over the indices which appear twice. It is therefore possible, without loss of clearness, to leave off the summation sign; so that we introduce the rule: wherever the index in any term of an expression appears twice, it is to be summed over all of them except when it is not expressedly said to the contrary. The difference between the co-variant and the contra-variant four-vector lies in the transformation laws [(7) and (5)]. Both the quantities are tensors according to the above general remarks; in it lies its significance. In accordance with Ricci and Levi-civita, the contravariants and co-variants are designated by the over and under indices. § 6. Tensors of the second and higher ranks. Contravariant tensor: - If we now calculate all the 16 products A μν of the components A μ B ν , of two contravariant four-vectors A μν , will according to (8) and (5 a) satisfy the following transformation law. We call a thing which, with reference to any reference system is defined by 16 quantities and fulfils the transformation relation (9), a contravariant tensor of the second rank. Not every such tensor can be built from two four-vectors, (according to 8). But it is easy to show that any 16 quantities A μν , can be represented as the sum of A μ B ν of properly chosen four pairs of four-vectors. From it, we can prove in the simplest way all laws which hold true for the tensor of the second rank defined through (9), by proving it only for the special tensor of the type (8). Contravariant Tensor of any rank : - It is clear that corresponding to (8) and (9), we can define contravariant tensors of the 3rd and higher ranks, with 4³, etc. components. Thus it is clear from (8) and (9) that in this sense, we can look upon contravariant four-vectors, as contravariant tensors of the first rank.

Comme, dans l’équation ci-dessus, les B σ′ sont indépendants les uns des autres et entièrement arbitraires, il s’ensuit que la loi de transformation est la suivante : Remarques sur la simplification de l’écriture des expressions. Un coup d’œil aux équations de ce paragraphe montrera que les indices qui apparaissent deux fois sous le signe de sommation [par exemple ν dans (5)] sont ceux sur lesquels la sommation doit porter, et qu’elle ne porte que sur les indices apparaissant deux fois. Il est donc possible, sans nuire à la clarté, d’omettre le signe de sommation ; nous introduisons ainsi la règle suivante : chaque fois qu’un indice apparaît deux fois dans un terme d’une expression, il faut sommer sur toutes ses valeurs, sauf indication expresse du contraire. La différence entre le quadrivecteur covariant et le quadrivecteur contravariant réside dans leurs lois de transformation [(7) et (5)]. Ces deux grandeurs sont des tenseurs au sens des remarques générales précédentes ; c’est là que réside leur signification. Conformément à Ricci et Levi-Civita, les contravariants et les covariants sont désignés respectivement par des indices supérieurs et inférieurs. § 6. Tenseurs du deuxième rang et de rangs supérieurs. Tenseur contravariant : si nous calculons maintenant les 16 produits A μν des composantes A μ B ν de deux quadrivecteurs contravariants, A μν satisfera, conformément à (8) et (5a), à la loi de transformation suivante. Nous appelons tenseur contravariant du deuxième rang une entité qui, relativement à tout système de référence, est définie par 16 quantités et satisfait à la relation de transformation (9). Un tel tenseur ne peut pas toujours être construit à partir de deux quadrivecteurs selon (8). Mais il est facile de montrer que 16 quantités quelconques A μν peuvent être représentées comme une somme de produits A μ B ν provenant de quatre couples convenablement choisis de quadrivecteurs. Nous pouvons ainsi démontrer de la manière la plus simple toutes les lois valables pour le tenseur du deuxième rang défini par (9), en les démontrant seulement pour le tenseur particulier du type (8). Tenseur contravariant de rang quelconque : il est clair que, conformément à (8) et (9), nous pouvons définir des tenseurs contravariants des troisième rang et rangs supérieurs, possédant 4³ composantes, etc. Il ressort donc clairement de (8) et (9) qu’en ce sens nous pouvons considérer les quadrivecteurs contravariants comme des tenseurs contravariants du premier rang.