The Principle of Relativity: Selected Papers by Einstein Section section-0033

If on the other hand, we take the 16 products A μν of the components of two co-variant four-vectors A μ and B ν , By means of these transformation laws, the co-variant tensor of the second rank is defined. All re-marks which we have already made concerning the contravariant tensors, hold also for co-variant tensors. It is convenient to treat the scalar Invariant either as a contravariant or a co-variant tensor of zero rank. Mixed tensor. We can also define a tensor of the second rank of the type which is co-variant with reference to μ and contravariant with reference to ν. Its transformation law is Naturally there are mixed tensors with any number of co-variant indices, and with any number of contra-variant indices. The co-variant and contra-variant tensors can be looked upon as special cases of mixed tensors. A contravariant or a co-variant tensor of the second or higher rank is called symmetrical when any two components obtained by the mutual interchange of two indices are equal. The tensor A μν or A μν is symmetrical, when we have for any combination of indices It must be proved that a symmetry so defined is a property independent of the system of reference. It follows in fact from (9) remembering (14) A contravariant or co-variant tensor of the 2nd, 3rd or 4th rank is called antisymmetrical when the two components got by mutually interchanging any two indices are equal and opposite. The tensor or A μν or A μν is thus antisymmetrical when we have Of the 16 components A μν , the four components A μμ vanish, the rest are equal and opposite in pairs; so that there are only 6 numerically different components present (Six-vector). Thus we also see that the antisymmetrical tensor A μνσ (3rd rank) has only 4 components numerically different, and the antisymmetrical tensor A μνστ only one. Symmetrical tensors of ranks higher than the fourth, do not exist in a continuum of 4 dimensions.

Si, d’autre part, nous prenons les 16 produits A μν des composantes de deux quadrivecteurs covariants A μ et B ν, le tenseur covariant du deuxième rang est défini au moyen de ces lois de transformation. Toutes les remarques que nous avons déjà faites au sujet des tenseurs contravariants valent également pour les tenseurs covariants. Il est commode de traiter l’invariant scalaire soit comme un tenseur contravariant, soit comme un tenseur covariant de rang zéro. Tenseur mixte. Nous pouvons aussi définir un tenseur du deuxième rang d’un type covariant par rapport à μ et contravariant par rapport à ν. Sa loi de transformation est. Il existe naturellement des tenseurs mixtes comportant un nombre quelconque d’indices covariants et un nombre quelconque d’indices contravariants. Les tenseurs covariants et contravariants peuvent être considérés comme des cas particuliers des tenseurs mixtes. Un tenseur contravariant ou covariant du deuxième rang ou d’un rang supérieur est dit symétrique lorsque deux composantes quelconques obtenues par permutation mutuelle de deux indices sont égales. Le tenseur A μν ou A μν est symétrique lorsque, pour toute combinaison d’indices, nous avons. Il faut démontrer qu’une symétrie ainsi définie est une propriété indépendante du système de référence. Cela résulte en effet de (9), compte tenu de (14). Un tenseur contravariant ou covariant du deuxième, troisième ou quatrième rang est dit antisymétrique lorsque les deux composantes obtenues par permutation mutuelle de deux indices sont égales et opposées. Le tenseur A μν ou A μν est donc antisymétrique lorsque nous avons. Parmi les 16 composantes A μν, les quatre composantes A μμ s’annulent, et les autres sont égales et opposées deux à deux ; il n’existe donc que 6 composantes numériquement différentes (sextivecteur). Nous voyons également que le tenseur antisymétrique A μνσ (troisième rang) ne possède que 4 composantes numériquement différentes, et le tenseur antisymétrique A μνστ une seule. Les tenseurs symétriques de rang supérieur au quatrième n’existent pas dans un continuum à 4 dimensions.