The Principle of Relativity: Selected Papers by Einstein Section section-0062

For a unit measuring rod, for example, placed parallel to the x axis, we have to put If the unit measuring rod lies on the x axis, the first of the equations (70) gives From both these relations it follows as a first approximation that The unit measuring rod appears, when referred to the co-ordinate-system, shortened by the calculated magnitude through the presence of the gravitational field, when we place it radially in the field. Similarly we can get its co-ordinate-length in a tangential position, if we put for example The gravitational field has no influence upon the length of the rod, when we put it tangentially in the field. Thus Euclidean geometry does not hold in the gravitational field even in the first approximation, if we conceive that one and the same rod independent of its position and its orientation can serve as the measure of the same extension. But a glance at (70a) and (69) shows that the expected difference is much too small to be noticeable in the measurement of earth’s surface. We would further investigate the rate of going of a unit-clock which is placed in a statical gravitational field. Here we have for a period of the clock Therefore the clock goes slowly what it is placed in the neighbourhood of ponderable masses. It follows from this that the spectral lines in the light coming to us from the surfaces of big stars should appear shifted towards the red end of the spectrum. Let us further investigate the path of light-rays in a statical gravitational field. According to the special relativity theory, the velocity of light is given by the equation thus also according to the generalised relativity theory it is given by the equation If the direction, i.e. , the ratio dx₁ : dx₂ : dx₃ is given, the equation (73) gives the magnitudes in the sense of the Euclidean Geometry. We can easily see that, with reference to the co-ordinate system, the rays of light must appear curved in case g μν ’s are not constants. If n be the direction perpendicular to the direction of propagation, we have, from Huygen’s principle, that light-rays (taken in the plane (γ, n )] must suffer a curvature ∂λ/∂ n .

Pour une règle de mesure unité, par exemple, placée parallèlement à l’axe x, nous devons poser Si la règle de mesure unité se trouve sur l’axe x, la première des équations (70) donne De ces deux relations, il résulte en première approximation que La règle de mesure unité paraît, lorsqu’on la rapporte au système de coordonnées, raccourcie de la grandeur calculée du fait de la présence du champ gravitationnel, lorsque nous la plaçons radialement dans le champ. De même, nous pouvons obtenir sa longueur en coordonnées dans une position tangentielle si nous posons, par exemple Le champ gravitationnel n’exerce aucune influence sur la longueur de la règle lorsque nous la plaçons tangentiellement dans le champ. Ainsi, la géométrie euclidienne n’est pas valable dans le champ gravitationnel, même en première approximation, si nous concevons qu’une seule et même règle, indépendamment de sa position et de son orientation, peut servir à mesurer une même étendue. Mais un coup d’œil à (70a) et (69) montre que la différence attendue est bien trop faible pour être perceptible dans la mesure de la surface terrestre. Examinons ensuite la marche d’une horloge unité placée dans un champ gravitationnel statique. Nous avons ici, pour une période de l’horloge L’horloge retarde donc lorsqu’elle est placée au voisinage de masses pondérables. Il s’ensuit que les raies spectrales de la lumière qui nous parvient de la surface des grandes étoiles devraient paraître décalées vers l’extrémité rouge du spectre. Examinons ensuite la trajectoire des rayons lumineux dans un champ gravitationnel statique. Selon la théorie de la relativité restreinte, la vitesse de la lumière est donnée par l’équation ; de même, selon la théorie de la relativité généralisée, elle est donnée par l’équation Si la direction, c’est-à-dire le rapport dx₁ : dx₂ : dx₃, est donnée, l’équation (73) fournit les grandeurs au sens de la géométrie euclidienne. Nous voyons aisément que, par rapport au système de coordonnées, les rayons lumineux doivent paraître courbes lorsque les g μν ne sont pas constants. Si n est la direction perpendiculaire à la direction de propagation, il résulte du principe de Huygens que les rayons lumineux [considérés dans le plan (γ, n)] doivent subir une courbure ∂λ/∂ n.