Relativity: The Special and General Theory, English Translation Section section-0072

XXVI. THE SPACE-TIME CONTINUUM OF THE SPECIAL THEORY OF RELATIVITY CONSIDERED AS A EUCLIDEAN CONTINUUM We are now in a position to formulate more exactly the idea of Minkowski, which was only vaguely indicated in Section XVII. In accordance with the special theory of relativity, certain co-ordinate systems are given preference for the description of the four-dimensional, space-time continuum. We called these “Galileian co-ordinate systems.” For these systems, the four co-ordinates x, y, z, t , which determine an event or - in other words - a point of the four-dimensional continuum, are defined physically in a simple manner, as set forth in detail in the first part of this book. For the transition from one Galileian system to another, which is moving uniformly with reference to the first, the equations of the Lorentz transformation are valid. These last form the basis for the derivation of deductions from the special theory of relativity, and in themselves they are nothing more than the expression of the universal validity of the law of transmission of light for all Galileian systems of reference. Minkowski found that the Lorentz transformations satisfy the following simple conditions. Let us consider two neighbouring events, the relative position of which in the four-dimensional continuum is given with respect to a Galileian reference-body K by the space co-ordinate differences dx, dy, dz and the time-difference dt . With reference to a second Galileian system we shall suppose that the corresponding differences for these two events are dx′, dy′, dz′, dt′ . Then these magnitudes always fulfill the condition. [21] [21] Cf. Appendixes I and II. The relations which are derived there for the co-ordinates themselves are valid also for co-ordinate differences , and thus also for co-ordinate differentials (indefinitely small differences). dx 2 + dy 2 + dz 2 – c 2 dt 2 = dx′ 2 + dy′ 2 + dz′ 2 – c 2 dt′ 2 . The validity of the Lorentz transformation follows from this condition. We can express this as follows: The magnitude

XXVI. LE CONTINUUM ESPACE-TEMPS DE LA THÉORIE RESTREINTE DE LA RELATIVITÉ CONSIDÉRÉ COMME UN CONTINUUM EUCLIDIEN Nous sommes maintenant en mesure de formuler plus exactement l’idée de Minkowski, qui n’était indiquée que vaguement à la section XVII. Conformément à la théorie restreinte de la relativité, certains systèmes de coordonnées sont privilégiés pour la description du continuum espace-temps à quatre dimensions. Nous les avons appelés « systèmes de coordonnées galiléens ». Pour ces systèmes, les quatre coordonnées x, y, z, t, qui déterminent un événement ou, en d’autres termes, un point du continuum à quatre dimensions, sont définies physiquement d’une manière simple, comme cela a été exposé en détail dans la première partie de ce livre. Pour passer d’un système galiléen à un autre, animé d’un mouvement uniforme par rapport au premier, les équations de la transformation de Lorentz sont valables. Celles-ci servent de fondement à la déduction des conséquences de la théorie restreinte de la relativité et ne sont, en elles-mêmes, rien d’autre que l’expression de la validité universelle de la loi de propagation de la lumière pour tous les systèmes de référence galiléens. Minkowski a découvert que les transformations de Lorentz satisfont aux conditions simples suivantes. Considérons deux événements voisins dont la position relative dans le continuum à quatre dimensions est donnée, par rapport à un corps de référence galiléen K, par les différences de coordonnées spatiales dx, dy, dz et par la différence temporelle dt. Par rapport à un second système galiléen, supposons que les différences correspondantes pour ces deux événements soient dx′, dy′, dz′, dt′. Ces grandeurs satisfont alors toujours à la condition suivante. [21] [21] Voir les appendices I et II. Les relations qui y sont déduites pour les coordonnées elles-mêmes sont également valables pour les différences de coordonnées et, par conséquent, pour les différentielles de coordonnées (différences indéfiniment petites). dx 2 + dy 2 + dz 2 – c 2 dt 2 = dx′ 2 + dy′ 2 + dz′ 2 – c 2 dt′ 2. La validité de la transformation de Lorentz découle de cette condition. Nous pouvons exprimer cela comme suit : la grandeur