Relativity: The Special and General Theory, English Translation Section section-0074

XXVII. THE SPACE-TIME CONTINUUM OF THE GENERAL THEORY OF RELATIVITY IS NOT A EUCLIDEAN CONTINUUM In the first part of this book we were able to make use of space-time co-ordinates which allowed of a simple and direct physical interpretation, and which, according to Section XXVI, can be regarded as four-dimensional Cartesian co-ordinates. This was possible on the basis of the law of the constancy of the velocity of light. But according to Section XXI the general theory of relativity cannot retain this law. On the contrary, we arrived at the result that according to this latter theory the velocity of light must always depend on the co-ordinates when a gravitational field is present. In connection with a specific illustration in Section XXIII, we found that the presence of a gravitational field invalidates the definition of the coordinates and the time, which led us to our objective in the special theory of relativity. In view of the resuIts of these considerations we are led to the conviction that, according to the general principle of relativity, the space-time continuum cannot be regarded as a Euclidean one, but that here we have the general case, corresponding to the marble slab with local variations of temperature, and with which we made acquaintance as an example of a two-dimensional continuum. Just as it was there impossible to construct a Cartesian co-ordinate system from equal rods, so here it is impossible to build up a system (reference-body) from rigid bodies and clocks, which shall be of such a nature that measuring-rods and clocks, arranged rigidly with respect to one another, shall indicate position and time directly. Such was the essence of the difficulty with which we were confronted in Section XXIII.

XXVII. LE CONTINUUM ESPACE-TEMPS DE LA THÉORIE GÉNÉRALE DE LA RELATIVITÉ N’EST PAS UN CONTINUUM EUCLIDIEN Dans la première partie de ce livre, nous avons pu employer des coordonnées d’espace-temps qui se prêtaient à une interprétation physique simple et directe et qui, selon la section XXVI, peuvent être considérées comme des coordonnées cartésiennes à quatre dimensions. Cela était possible en vertu de la loi de constance de la vitesse de la lumière. Mais, selon la section XXI, la théorie générale de la relativité ne peut conserver cette loi. Nous sommes au contraire arrivés à la conclusion que, d’après cette dernière théorie, la vitesse de la lumière doit toujours dépendre des coordonnées lorsqu’un champ gravitationnel est présent. À propos d’un exemple particulier présenté à la section XXIII, nous avons constaté que la présence d’un champ gravitationnel rend caduque la définition des coordonnées et du temps qui nous avait permis d’atteindre notre objectif dans la théorie restreinte de la relativité. Au vu des résultats de ces considérations, nous sommes conduits à la conviction que, selon le principe général de relativité, le continuum espace-temps ne peut être considéré comme euclidien. Nous avons ici le cas général, correspondant à la plaque de marbre soumise à des variations locales de température, que nous avons rencontrée comme exemple de continuum à deux dimensions. De même qu’il était impossible d’y construire un système de coordonnées cartésiennes au moyen de baguettes égales, il est ici impossible d’édifier, à partir de corps rigides et d’horloges, un système (corps de référence) tel que des règles de mesure et des horloges disposées rigidement les unes par rapport aux autres indiquent directement la position et le temps. Telle était l’essence de la difficulté à laquelle nous nous sommes heurtés à la section XXIII.