Geometry and Experience, French Translation Section section-0003

Cette conception des axiomes, qui est représentée par l’axiomatique moderne, débarrasse la mathématique de tous les éléments qui ne lui appartiennent pas, et dissipe ainsi l’obscurité mystique qui enveloppait auparavant les fondements de la mathématique. Une telle exposition épurée rend de même évident que la mathématique comme telle est incapable d’énoncer quoi que ce soit, ni sur les objets de la représentation intuitive, ni sur la réalité. Par les mots point, droite , etc., il ne faut entendre dans la géométrie axiomatique que des concepts schématiques vides de contenu. Ce qui leur confère du contenu n’appartient pas à la mathématique. Mais il est d’autre part certain que la mathématique en général et la géométrie en particulier doivent leur existence à notre besoin d’apprendre quelque chose sur la manière d’être des objets réels. Le mot géométrie , qui signifie mesure du terrain , le prouve déjà. Car la mesure du terrain traite des positions relatives possibles de certains corps de la nature, c’est-à-dire de parties du corps terrestre, de cordeaux, de jalons, etc. Il est clair que le système de concepts de la géométrie axiomatique seule ne peut formuler aucun énoncé sur la manière d’être de cette espèce d’objets de la réalité que nous appellerons corps pratiquement rigides . Pour pouvoir fournir des énoncés de ce genre, la géométrie devrait être dépouillée de son caractère logique et formel, de telle sorte qu’on puisse ajouter aux concepts schématiques vides de la géométrie axiomatique des objets de la réalité accessibles à l’expérience. Pour effectuer cela, il suffit d’ajouter la proposition suivante : « Des corps solides se comportent par rapport à leurs possibilités de position comme des corps à trois dimensions de la géométrie euclidienne ; alors les propositions de la géométrie euclidienne contiennent des énoncés sur la manière d’être des corps pratiquement rigides. »

This conception of axioms, represented by modern axiomatics, rids mathematics of all elements that do not belong to it and thus dispels the mystical obscurity that formerly enveloped the foundations of mathematics. Such a purified presentation likewise makes it evident that mathematics as such is incapable of stating anything either about objects of intuitive representation or about reality. In axiomatic geometry, the words point, straight line, and so forth must be understood only as schematic concepts devoid of content. Whatever gives them content does not belong to mathematics. Yet it is certain, on the other hand, that mathematics in general and geometry in particular owe their existence to our need to learn something about the nature of real objects. The word geometry, which means measurement of the earth, already proves this. For the measurement of the earth concerns the possible relative positions of certain natural bodies, that is, parts of the terrestrial body, measuring cords, surveyor's rods, and so forth. It is clear that the conceptual system of axiomatic geometry alone can formulate no statement about the nature of that class of objects in reality which we shall call practically rigid bodies. To provide statements of this kind, geometry would have to be divested of its purely logical and formal character, so that experientially accessible objects of reality could be assigned to the empty schematic concepts of axiomatic geometry. To accomplish this, it is enough to add the following proposition: “Solid bodies behave, with respect to their possible positions, like three-dimensional bodies of Euclidean geometry; the propositions of Euclidean geometry then contain statements about the nature of practically rigid bodies.”